[論文レビュー] On decomposable random graphs

Mohamad Elmasri|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、潜在的な木構造に基づく条件付き独立性を強制することで、マルコフ連鎖モンテカルロ更新を簡素化する、木に依存する二部グラフを用いた分解可能ランダムグラフのモデリングのための新規フレームワークを提案する。この手法により、効率的なサンプリングと正確な尤度因子分解が可能となり、ジャンクションツリー構造を保持するとともに、部分クラスタリングダイナミクスの明示的モデリングも可能となる。

ABSTRACT

Decomposable graphs are known for their tedious and complicated Markov update steps. Instead of modelling them directly, this work introduces a class of tree-dependent bipartite graphs that span the projective space of decomposable graphs. This is achieved through dimensionality expansion that causes the graph nodes to be conditionally independent given a latent tree. The Markov update steps are thus remarkably simplified. Structural modelling with tree-dependent bipartite graphs has additional benefits. For example, certain properties that are hardly attainable in the decomposable form are now easily accessible. Moreover, tree-dependent bipartite graphs can extract and model extra information related to sub-clustering dynamics, while currently known models for decomposable graphs do not. Properties of decomposable graphs are also transferable to the expanded dimension, such as the attractive likelihood factorization property. As a result of using the bipartite representation, tools developed for random graphs can be used. Hence, a framework for random tree-dependent bipartite graphs, thereupon for random decomposable graphs, is proposed.

研究の動機と目的

• 分解可能グラフにおけるマルコフ連鎖更新の計算複雑性を軽減すること。これは、複雑な条件付き依存性が障害要因となっている。
• 潜在的な木構造を有する高次元の二部空間に埋め込むことで、分解可能グラフの構造的モデリングを簡素化すること。
• 潜在木に基づく条件付き独立性によりノードの更新を分離することで、並列化可能な高速なサンプリングを実現すること。
• 最大クリークやジャングションツリー構造への明示的アクセスを提供すること。これらは高次元設定では計算が困難である。
• 特に点過程表現を含む、ランダムグラフ理論からのツールを、分解可能グラフモデルへと拡張すること。

提案手法

• ノードが潜在的な木構造 T_G に対して条件付き独立であるように、木に依存する二部グラフ表現を用いて分解可能グラフをモデル化する。
• 次元拡張を用い、ノードと潜在的コミュニティ間の隣接構造を二値行列 Z* として表現する。エッジインジケータ s_ki は指数分布および切断指数分布に従う。
• 木 T_G が与えられたもとでの (Z*, S) の同時条件付き密度を、アフィニティパラメータ ϑ’_k と ϑ_i を含む指数項の積として定義する。エッジ存在のインジケータ関数を含む。
• 共役事前分布（例：ガンマ分布）を用いて、T_G が与えられたもとでの Z* の条件付き更新、次に Z* が与えられたもとでの T_G の条件付き更新を繰り返し行うギブスサンプリングを実装する。
• カレンベール表現定理を活用し、アフィニティ関数 W を固定した連続的点過程としてグラフをモデル化する。W は既知の分布を持つと仮定する。
• エッジインジケータ s_ki には切断指数分布を用い、z*_{ki} = 0 または 1 の状態に応じて異なるパrameterization を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解可能グラフのマルコフ連鎖更新を、高次元の二部空間に埋め込むことで簡素化できるか？
• RQ2 潜在的な木構造を介してノード間の条件付き独立性をどのように導入し、更新ステップを分離できるか？
• RQ3 この表現が尤度因子分解およびモデル推論効率に与える影響は何か？
• RQ4 このフレームワークでは、部分クラスタリングダイナミクスと最大クリーク構造を明示的にモデリングできるか？
• RQ5 既存のランダムグラフツール（特に点過程表現）を、分解可能グラフモデルへどの程度適応できるか？

主な発見

• 提案された木に依存する二部グラフモデルにより、潜在的な木構造に基づく条件付き独立性のおかげで、ノードの同時かつ並列的な更新が可能となり、計算複雑性が著しく低減される。
• 木 T_G が与えられたもとでの (Z*, S) の同時条件付き密度は、アフィニティパラメータとエッジインジケータを含む指数項の積として明示的に因子分解される。
• アフィニティパラメータ ϑ’_k と ϑ_i の事後分布は共役であり、解析的に扱える。周辺分布はガンマ分布に類似した形をとる。
• エッジインジケータ s_ki は、Z* におけるエッジの有無に応じて異なるパrameterization を持つ切断指数分布を介して更新される。
• このフレームワークにより、元の分解可能グラフの性質と同様に正確な尤度因子分解が実現され、クリークと分離集合に基づく因子分解という統計的利点が保持される。
• 本モデルは、高次元における分解可能グラフで通常困難な最大クリーク集合やジャングションツリー構造への直接的なアクセスを提供する。