[論文レビュー] On Deductive Systems of AC Semantics for Rough Sets

A. Mani|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般 rough set における antichain を用いた意味論を、granular operator spaces 内で展開する、新規の演繹的システム枠組みを提案する。三項の演繹的システムが格子フィルターおよびイデアルによって特徴付けられることを確立し、主な結果として、特定の三項項条件の下で主フィルターおよび LD-フィルターが十分であることを示し、granular 原子性および明確性の仮定の下で擬似補余演算の定義可能性を証明する。

ABSTRACT

Antichain based semantics for general rough sets were introduced recently by the present author. In her paper two different semantics, one for general rough sets and another for general approximation spaces over quasi-equivalence relations, were developed. These semantics are improved and studied further from a lateral algebraic logic perspective in this research. The main results concern the structure of the algebras and deductive systems in the context.

研究の動機と目的

• 一般 rough set の antichain を用いた意味論における演繹的システムのための横断的代数論理枠組みを構築すること。
• 最小限の構造的仮定での granular operator spaces の導入により、古典的 rough set 意味論を一般化すること。
• 三項項を用いた演繹的システムの特徴付けを行い、フィルターおよびイデアルが帰結に関して閉じるための条件を確立すること。
• 物質的原子性および粒状化の絶対的明確性の仮定の下で、AC-代数における擬似補余演算の定義可能性を証明すること。
• 代数論理的ツールを用いて antichain 意味論の適用範囲を RYS や他の一般 rough set システムへ拡張すること。

提案手法

• S が集合、G が許容的な粒状化、l, u が単調な下位および上位近似作用素である ⟨S, G, l, u⟩ として定義される granular operator spaces を使用する。
• 下位および上位近似の包含関係によって定義される商集合 S/≈ 上の基本的 rough 順序 ⊌ を導入する。
• rough 同値 ≈ における最大の roughly 一貫性を持つ集合として rough 物象を定義し、その poset 構造を研究する。
• poset 内の最大サイズの antichain に注目することで antichain を用いた意味論を適用し、それらが分配的格子を形成することを示す。
• 帰結に関しての演繹的閉包をモデル化するため、t(a,b,z) = a∧b∧z や t(a,b,z) = (a∨□b)∧z のような三項項 τ を構成する。
• σ-作用素（例：σ∨(x) = a∨x）を用いて要素を主フィルター／イデアルへ写像し、項に基づくシステムと格子論的構造との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般 rough set における演繹的システムを、antichain を用いた意味論によって体系的に形式化するにはどうすればよいか？
• RQ2 フィルターまたはイデアルが三項演繹的システムに関して十分な閉じる条件となるにはどのような条件が必要か？
• RQ3 どのような粒状化的条件下で、AC-代数における擬似補余演算が定義可能となるか？
• RQ4 t(a,b,z) = a∧b∧z や t(a,b,z) = (a∨□b)∧z のような三項項が、帰結に関して閉じた演繹的システムをどのように誘導するか？
• RQ5 適切な poset 構成により、antichain 格子 ACₘ(X) の代数的構造が、すべての有限分配的格子を表現可能か？

主な発見

• 任意の poset X における最大 antichain の poset ACₘ(X) は分配的格子を形成し、基礎的な代数的構造を確立する。
• 任意の有限分配的格子 L およびその結合既約元の鎖分解に対して、L ≅ ACₘ(X_C を満たす poset X_C が存在する。これにより、表現可能性が証明される。
• σ∨(x) = a∨x の像は a で生成される主フィルターであり、σ∧(x) = a∧x は主イデアルを生成する。これにより、作用素と格子フィルターとの関連が確立される。
• τ = {t(a,b,z) = a∧b∧z} である三項 τ-演繆レーションシステム H が z において定義されるとき、H はフィルターであり、項作用素による閉包が保たれる。
• τ = {t(a,b,z) = (a∨□b)∧z} の場合、H は z で生成される主 LD-フィルターであり、項作用素による閉包は、a および t(a,b,z) が H に属するならば b ∈ H を示す。
• 物質的原子性および粒状化の絶対的明確性の下で、AC-代数における擬似補余演算は定義可能であり、一貫性のある代数的補余演算が保証される。