[論文レビュー] On defining functions for unbounded pseudoconvex domains

Tobias Harz, Nikolay Shcherbina+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、複素多様体内の滑らかな境界をもつ厳密に擬凸領域について、領域が非有界であるか、あるいは周囲の多様体が非Steinであっても、グローバル定義関数の存在を確立する。主な貢献は、すべての有界な擬凸関数が厳密に擬凸でなくなる点の集合である「コア」を導入し、そのコアの外側でのみ厳密に擬凸であるグローバル定義関数を構成できることを示したことである。コアは1-擬凸凹であることが示され、一般に解析的構造を欠くことが判明している。

ABSTRACT

We show that every strictly pseudoconvex domain $Ω$ with smooth boundary in a complex manifold $\mathcal{M}$ admits a global defining function, i.e., a smooth plurisubharmonic function $φ\colon U o \mathbb R$ defined on an open neighbourhood $U \subset \mathcal{M}$ of $\overlineΩ$ such that $Ω= \{φ< 0\}$, $dφ eq 0$ on $bΩ$ and $φ$ is strictly plurisubharmonic near $bΩ$. We then introduce the notion of the core $\mathfrak{c}(Ω)$ of an arbitrary domain $Ω\subset \mathcal{M}$ as the set of all points where every smooth and bounded from above plurisubharmonic function on $Ω$ fails to be strictly plurisubharmonic. If $Ω$ is not relatively compact in $\mathcal{M}$, then in general $\mathfrak{c}(Ω)$ is nonempty, even in the case when $\mathcal{M}$ is Stein. It is shown that every strictly pseudoconvex domain $Ω\subset \mathcal{M}$ with smooth boundary admits a global defining function that is strictly plurisubharmonic precisely in the complement of $\mathfrak{c}(Ω)$. We then investigate properties of the core. Among other results we prove 1-pseudoconcavity of the core, we show that in general the core does not possess an analytic structure, and we investigate Liouville type properties of the core.

研究の動機と目的

• 任意の複素多様体内の滑らかな境界をもつ厳密に擬凸領域について、領域が非有界であるか、あるいは多様体が非Steinであっても、グローバル定義関数の存在を確立すること。
• 領域の『コア』を定義し、すべての有界な擬凸関数が厳密に擬凸でなくなる点の集合として分析すること。
• グローバル定義関数がコアの外側でのみ厳密に擬凸であるようなものが存在することを示し、厳密擬凸性の障害を同定すること。
• コアの幾何学的・解析的性質、特にその擬凸凹性、解析的構造の欠如、Liouville型の性質を調査すること。
• コアの構造、部分領域における不変性、トポロジー的および擬凸関数論的性質に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• 領域 Ω ⊂ M のコアを、Ω 上で滑らかで上に有界な擬凸関数がすべて厳密に擬凸でなくなる点の集合として定義する。
• Ω の閉包の近傍 U において、滑らかで擬凸関数 φ を構成し、境界付近で厳密に擬凸であり、φ < 0 となるのは Ω にちょうど一致するようにする。
• Grauert の手法の変種を用いて定義関数をグローバルに拡張し、相対コンパクトでない、非Steinな状況にも適応する。
• 擬凸関数とそのLevi形式の挙動を分析することで、コアが1-擬凸凹であることを証明する。
• Weierstrass積やPoisson-Jensen推定を用いた具体例を構成し、コアが非可算的であり、正次元の解析的部分多様体を含まず、非自明な多項式包を持つ可能性があることを示す。
• コア上でLiouville型定理と最大値原理を適用し、有界擬凸関数の定数性とその成分における性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素多様体内の厳密に擬凸領域は、そのコアの外側でのみ厳密に擬凸であるグローバル定義関数をもつか？
• RQ2 コアは正次元の解析的部分多様体を含まない集合として特徴付けられ、多項式凸性の性質を満たすか？
• RQ3 コアが空でない内部や正の擬凸測度を持つこと、あるいはFatou-Bieberbach領域を含むことは可能か？
• RQ4 コアが Ω に含まれる部分領域 ω ⊂ Ω に対して、ω のコアが Ω のコアと一致するか？
• RQ5 環境多様体がSteinであるとき、コアのすべての最大成分は相対的に非コンパクトか？

主な発見

• 滑らかな境界をもつ任意の厳密に擬凸領域は、そのコアの補集合上でのみ厳密に擬凸であるグローバル定義関数をもつ。
• 領域のコアは常に1-擬凸凹である。これは、Levi形式に特定の曲率条件が満たされることを意味する。
• コアは一般に解析的構造を欠く。正次元の解析的部分多様体を含まず、場合によっては非可算的かつコンパクトであることもある。
• 任意の R > 0 に対して、bB^n(0,R) ∩ core(Ω) の多項式包は、B^n(0,R) ∩ core(Ω) の閉包に一致する。これは強い多項式凸性の性質を示している。
• Weierstrass積の手法とPoisson-Jensen推定を用いて、非可算的でコンパクトであり、解析的集合を含まないコアを持つ領域が構成可能である。
• コアは特定の操作に関して不変である。Ω のコアが部分領域 ω に含まれるとき、ω のコアは Ω のコアと一致するが、これは一般には成り立たない（未解決問題）。