[論文レビュー] On definitions of polynomials over function fields of positive characteristi

Alexandra Shlapentokh|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の特性における関数体上の多項式環およびS整数環の1階定義可能性に関する結果を確立する。p次第で変化するKを用いて、𝔾ₚ[t] が1つの全称変数を含む∀∃-式によって定義可能であることを証明し、特定の条件下でpおよびKの変動する範囲で𝔾ₚ[t]およびS整数環の一様な∀∀∃…∃-定義を提供する。これは、正の特性における関数体のモデル理論を前進させる。

ABSTRACT

We consider the problem of defining polynomials over function fields of positive characteristic. Among other results, we show that the following assertions are true. 1. Let $\G_p$ be an algebraic extension of a field of $p$ elements and assume $\G_p$ is not algebraically closed. Let $t$ be transcendental over $\G_p$, and let $K$ be a finite extension of $\G_p(t)$. In this case $\G_p[t]$ has a definition (with parameters) over $K$ of the form $\forall \exists \ldots \exists P$ with only one variable in the range of the universal quantifier and $P$ being a polynomial over $K$. 2. For any $q$, for all $p ot=q$ and all function fields $K$ as above with $\G_p$ having an extension of degree $q$ and a primitive $q$-th root of unity, there is a uniform in $p$ and $K$ definition (with parameters) of $\G_p[t]$, of the form $\exists \ldots \exists \forall \forall \exists \ldots \exists P$ with only two variables in the range of universal quantifiers and $P$ being a finite collection of disjunction and conjunction of polynomial equations over $\Z/p$. Further, for any finite collection $\calS_K$ of primes of $K$ of fixed size $m$, there is a uniform in $K$ and $p$ definition of the ring of $\calS_K$-integers of the form $\forall\forall\exists \ldots \exists P$ with the range of universal quantifiers and $P$ as above. 3. Let $M$ be a function field of positive characteristic in one variable $t$ over an arbitrary constant field $H,$ and let $\G_p$ be the algebraic closure of a finite field in $H$. Assume $\G_p$ is not algebraically closed. In this case $\G_p[t]$ is first-order definable over $M$.

研究の動機と目的

• 正の特性における関数体上の多項式環およびS整数環の1階定義可能性を調査すること。
• 数体におけるヒルベルトの10番目の問題やJ.ロビンソンの研究に類似した結果を、正の特性の関数体へ拡張すること。
• 数体の設定における進展にインspiredされ、定義構成における全称量化子の数を減らすこと。
• 特定の代数的条件を満たす場合に、パラメータpおよびKの間で一様な定義結果を確立すること。
• 関数体における整閉包のためのルメリーの式の量化子の複雑さを分析すること。

提案手法

• 正の特性における関数体上の代数幾何学および付値論を用いる。
• ノルム方程式およびp乗フロベニウス構成を用いて、多項式的条件により部分環を定義する。
• 𝔽_pの非閉代数的拡張である𝔾ₚの有限拡張 𝔾ₚ(t) の構造を用いる。
• 𝔽_p上での多項式方程式系を用い、量化子の入れ替えのパターンを構築する。
• ルメリーの整閉包のための式を分析し、前件標準形における全称量化子の数を推定する。
• q次の原始根の存在およびq次拡張を用いて、一様な定義を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性において、𝔾ₚ(t)の有限拡張K上での多項式環𝔾ₚ[t]は定義可能か？
• RQ2 q ≠ p であり、𝔾ₚが原始q次根をもつq次拡張を有する場合、特定の体論的条件を満たすpおよびKの変動する範囲で、𝔾ₚ[t]の一様な∀∀∃…∃-定義が存在するか？
• RQ3 Sのサイズが有界な正の特性の関数体上でのS整数環は、一様に定義可能か？
• RQ4 ルメリーの手法を用いて関数体における整閉包を定義する際、必要な最小の全称量化子の数は何か？
• RQ5 正の特性において無限個のp進的離散ディオファントス集合が存在する場合、数体と比較して定義可能性が単純化されるか？

主な発見

• 任意の𝔽_pの非代数的閉包である代数的拡張𝔾ₚの有限拡張Kに対して、𝔾ₚ[t] は、全称量化子に1つの変数しか含まない∀∃-定義をK上で持つ。
• q ≠ p であり、𝔾ₚが原始q次根をもつq次拡張を有する場合、K上で𝔾ₚ[t] の一様な∀∀∃…∃-定義が存在し、全称量化子が2つの変数のみを含む。
• 任意の固定されたサイズmに対して、S_K整数環は、Kおよびpに関して一様な∀∀∃…∃-定義をもち、全称量化子が2つで、𝔽_p上での多項式方程式を用いる。
• グローバル関数体における整数環O_xは、ノルム方程式および付値条件を含む式によって定義可能であり、ルメリーの構成における量化子の複雑さは少なくとも16個の全称量化子に相当する。
• 定義可能な部分環の構成は、無限個のp進的離散ディオファントス集合の存在に依存しており、これは正の特性では可能であるが、マズールの予想のもとでは数体では不可能である。
• 本稿は、Hを定数体とし、𝔾_pがHにおける有限体の代数的閉包であり、かつ代数的閉でない場合、任意の1変数関数体M上のHを定数体とする関数体Mにおいて、𝔾ₚ[t] が1階で定義可能であることを示している。