[論文レビュー] On defocusing coupled nonlinear Schrodinger equations

Tarek Saanouni|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、次元 $2 \leq N \leq 4$ における力の型非線形項を有する焦点的でない結合非線形シュレーディンガー方程式系について、グローバルな適切性と散乱を確立する。エネルギー法、ストリカルツ推移、および洗練されたモラウェッツ型不等式を用いて、著者らは、臨界および亜臨界の場合のエネルギー空間内での解のグローバル存在および散乱を証明した。これは、正の結合係数を有する一般の $m$-成分系へ、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

The initial value problem for some defocusing coupled nonlinear Schrodinger equations is investigated. Global well-posedness and scattering are established.

研究の動機と目的

• 焦点的でない結合非線形シュレーディンガー系に、力の型非線形項を有する場合のグローバル存在および散乱を確立すること。
• 局所的適切性に関する先行研究を、エネルギー臨界および亜臨界領域におけるグローバル解へ拡張すること。
• $m \geq 3$ の $m$-成分系および一般の正の結合係数についてのグローバル結果の欠如を解消すること。
• 時空間可積分性推移を用いて、有限エネルギー初期データに対する散乱を証明すること。
• 結合系に対するモラウェッツ推移の厳密な取り扱いを提供し、散乱のための鍵となるものとする。

提案手法

• エネルギー臨界および亜臨界枠組みを用い、$L^2$ および $H^1$ ノルムを用いて、$C([0,T^*), H)$ 内での局所的適切性を確立する。
• 適応された関数空間においてストリカルツ推移と収縮写像原理を適用し、局所的存在および一意性を証明する。
• 時空間ノルムを制御するため、積 $|u_j v_j|^2$ および径数的重み $a(x,y) = |x-y|$ を含む洗練されたモラウェッツ型不等式を用いる。
• 部分積分および恒等式 $$ \partial_k(\partial_i^2|w_j|^2 - 4\Re(\partial_i \bar{w}_j \partial_k w_j)) = 2\Re(\bar{w}_j \partial_i \Delta w_j - \partial_i w_j \Delta \bar{w}_j) $$ を用いて、モラウェッツ推移を導出する。
• 関数 $a(z) = |x-y|$ を $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ 上の凸関数として用い、$N=3$ の場合の $\int_0^T \int |u_j(t,x)|^4 \,dx\,dt$ および $N \geq 4$ の場合の $\int \int \frac{|u_j(t,x)|^2|u_j(t,y)|^2}{|x-y|^3} \,dx\,dy\,dt$ に対する下界を得る。
• 質量およびエネルギーの保存則を用いて、解のダイナミクスを制御し、亜臨界領域におけるグローバル存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m \geq 2$ 成分を有する焦点的でない結合非線形シュレーディンガー系は、有限エネルギー初期データに対してグローバル解を有するか？
• RQ2 正の結合係数を有するエネルギー臨界結合系に対して、散乱を確立できるか？
• RQ3 どのような時空間可積分性の性質が、臨界および亜臨界領域におけるグローバル存在および散乱を保証するか？
• RQ4 非線形相互作用を制御するため、モラウェッツ型不等式を結合系へ一般化できるか？
• RQ5 初期データが $H^1$ に属する場合、亜臨界領域において解の生存期間 $T^*$ は常に無限大か？

主な発見

• 次元 $2 \leq N \leq 4$ において、$1 < p < p^*$ の場合にグローバルな適切性が成立し、解は $C([0,\infty), H)$ に属し、時空間ノルム $\|\mathbf{u}\|_{L^{\frac{4p}{N(p-1)}}(L^{2p})} < \infty$ が有限である。
• エネルギー臨界系 $p = p^*$ の場合、$H^1$ 内の小さな初期データに対してグローバル存在が確立される。
• 散乱はエネルギー空間内で証明された：$N \geq 3$ の場合、$\|\mathbf{u}\|_{L^{\frac{2(2+N)}{N-2}}(L^{\frac{2(2+N)}{N-2}})} < \infty$ であり、これは漸近的挙動が自由解に類似することを保証する。
• モラウェッツ推移により、$N=3$ の場合、$\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3} |u_j(t,x)|^4 \,dx\,dt \lesssim \sup_{[0,T]} |M_a^{\otimes_2}|$ が得られ、$N \geq 4$ の場合、$|x-y|^{-3}$ を含む類似の評価が得られる。
• エネルギーおよび質量は流れに沿って保存され、これは解の制御およびグローバル存在の証明に不可欠である。
• 本手法により、単一成分 NLS に関する先行研究が、正の実数結合係数 $a_{jk} = a_{kj}$ を有する一般の $m$-成分系へ拡張された。