[論文レビュー] On deformation quantization of Dirac structures

Pavol Ševera|ArXiv.org|Nov 16, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正則foliationの変形である形式的Dirac構造の変形量子化を、Kontsevichの形式性定理を用いてalgebroidのスタックを構成することで確立する。主な結果は、このようなDirac構造の量子化が、葉に沿った平坦接続のカテゴリを変形する、カテゴリの層（スタック）を生じることであり、局所的な横断に沿ったPoisson構造が、ホモトピー的整合性を持つ一貫した系に量子化されることである。

ABSTRACT

Motivated by the problem of transverse deformation quantization of foliated manifolds, we describe a quantization of Dirac structures (more precisely, of those that are formal deformations of regular ones) to stacks of algebroids in the sense of Kontsevich.

研究の動機と目的

• 正則foliationの変形である形式的Dirac構造の家族に対する量子化手順の開発。
• Poisson構造を超えて、Dirac構造を統一的枠組みとして用いることで、横断的変形量子化を一般化すること。
• 葉の幾何に沿った量子幾何をホモトピー的整合性を持つ方法で捉える、algebroidのスタックの構成。
• 横断に形式的Poisson構造を誘導するDirac構造を、体系的な方法で量子化すること。
• 葉に沿って定数関数の層を量子化することで、葉空間の非可換幾何の基礎を築くこと。

提案手法

• Kontsevichの形式性定理を用いて、正則Dirac構造 $ C(0) $ の変形である形式的Dirac構造 $ C(\hbar) $ を量子化する。
• foliationが自明となる可縮開集合上で、横断のホモトピーを用いて射を定義するalgebroidの前スタックを構成する。
• 射の空間を、横断上の量子化関数代数間の同型のグラフとして定義し、高次ホモトピーによって整合性を保証する。
• 右随伴制限を用いて、前スタックをすべての開集合へ拡張し、開集合の圏上のファイバー化カテゴリを形成する。
• 得られた前スタックをスタック化することで、線形カテゴリの層を得て、降下性とホモトピー的整合性を保証する。
• DGLAの多ベクトル場におけるCourant括弧とMC方程式を用いて、Dirac構造をMaurer-Cartan方程式の解として特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則構造の形式的変形でないDirac構造は、この方法で量子化可能か？
• RQ2 形式的Dirac構造の量子化が、環境多様体上に一貫した代数スタックをどのように誘導するか？
• RQ3 横断のホモトピーが、得られるalgebroidスタックにおける射の空間を定義する役割を果たすか？
• RQ4 algebroidスタックは、葉に沿った平坦接続の古典的カテゴリとどのように関係するか？
• RQ5 形式的Dirac構造の量子化後、葉に沿った関数のグローバル非可換代数はどのように変化するか？

主な発見

• 形式的Dirac構造 $ C(\hbar) $ の量子化は、$ C(0) $ の葉に沿った平坦接続の古典的カテゴリを変形するalgebroidスタックを生じる。
• 横断に誘導される局所Poisson構造 $ \pi = \pi^{(1)}\hbar + \pi^{(2)}\hbar^2 + \cdots $ の量子化は、グローバルスタックに整合的に貼り合わされる。
• この構成は、Kontsevichの形式性定理を用いて、古典的Dirac構造を形式的変形を通じて量子スタックへと持ち上げることに依存する。
• 得られたスタックは、横断の選択に依存せず、高次ホモトピーと第4節の $ a $-要素によって、自然に同型を保証される。
• 双モジュール構造とホモトピー的整合性を通じて、非自明なモノドロミーとホロノミーを自然に扱える。
• スタック化された前スタックは、古典的葉に沿った幾何のホモトピー論的変形として、foliated多様体の量子幾何を捉えている。