[論文レビュー] On deformations of free groups in compact Lie groups

Tsachik Gelander|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、幾何的群論およびリー群力学系における2つの長年の予想を証明している：コンパクトリー群における自由群の非バニラフリーな変形の稠密性に関するマーガリスとソイファの予想、および n ≥ 3 のとき、Out(Fₙ)-作用が Hom(Fₙ, G)/G にエルゴディックであるというゴールドマンの予想。ニールセン変換および随伴表現の性質を用いて、任意のコンパクトリー群内のn重組は、任意の稠密な(n−1)生成部分群を生成するようにわずかに変形可能であることを示し、非バニラフリーな像の一般性および外部自己同型群作用のエルゴディック性を確立した。

ABSTRACT

We study some properties of the varieties of deformations of free groups in compact Lie groups. In particular we prove a conjecture of Margulis and Soifer about the density of non-virtually free points in such variety, and a conjecture of Goldman on the ergodicity of the action of Aut(Fn) on such variety when n>2.

研究の動機と目的

• コンパクトリー群における自由群を生成するn重組の多様体において、非バニラフリーな変形が稠密であるというマーガリスとソイファの予想を解決すること。
• n ≥ 3 のとき、コンパクトリー群GへのFₙからの準同型の空間 Hom(Fₙ, G)/G における Out(Fₙ)-作用のエルゴディック性に関するゴールドマンの予想を証明すること。
• 連結コンパクトリー群内の任意のn重組は、部分群の最小生成集合にややきつい条件を課した場合、任意の与えられた稠密な(n−1)生成部分群に、任意にわずかに変形可能であることを確立すること。
• n = 2 の場合にこれらの結果を拡張し、コンパクト非アーベルリー群内の任意のペアが、セレの性質(F)を満たす群を生成するように変形可能であることを示すこと、したがってそれは非バニラフリーである。

提案手法

• Gⁿ内のn重組を任意のGⁿの開集合へとニールセン変換によって変形可能であることを用い、変形されたn重組が生成する群を制御可能であるようにする。
• ザリスキ位相とバーンサイドの補題を用いて、随伴表現によって全リー代数を生成する要素の集合がザリスキ開かつ稠密であることを示す。
• 共役類 C(a) × C(b) → G における積写像を用い、a と b の中心化部分群が自明に交わる条件の下で、その微分が全射であることを証明する。キリング形式および随伴表現の性質を用いる。
• 陰関数定理を用いて、a と b が正則かつ一般位置にあるとき、(a,b) の近傍で積写像が開であることを導出し、共役類上での積写像の局所全射性を保証する。
• コンパクトリー群におけるねじれ元が稠密であるという事実を用いて、密度を保ちつつ積がねじれであるようにする共役類内での変形を構成する。
• 半単純リー群が単純因子のほぼ直積として構造を持つことを利用し、各因子への射影を分析することで、生成される部分群の稠密性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結コンパクト非アーベルリー群内の任意のn重組は、マーガリスとソイファが予想したように、非バニラフリーな群を生成するように変形可能か？
• RQ2 n ≥ 3 のとき、Hom(Fₙ, G)/G における Out(Fₙ) の作用は、ゴールドマンの予想が示すようにエルゴディックか？
• RQ3 n ≥ 3 のとき、Fₙ から G への準同型の集合のうち、像が固定された稠密な(n−1)生成部分群であるものの集合は、全空間 Hom(Fₙ, G) において稠密か？
• RQ4 コンパクトリー群内の任意のペアは、セレの性質(F)を満たす群を生成するように変形可能か？これは、それが非バニラフリーであることを示唆する。
• RQ5 随伴表現 Ad(g) を用いて全リー代数を生成する要素の集合が、どのような条件下でザリスキ開かつ稠密になるか？

主な発見

• 任意の稠密な(n−1)生成部分群 Γ ≤ G と n ≥ 3 に対して、f(Fₙ) = Γ を満たす Hom(Fₙ, G) 内の準同型 f の集合は、Hom(Fₙ, G) において稠密である。
• n ≥ 3 のとき、連結コンパクトリー群内の任意のn重組は、任意にわずかに変形可能であり、固定された稠密な(n−1)生成部分群 Γ を生成できる。ただし Γ が(n−1)生成でなければならない。
• n ≥ 3 のとき、Out(Fₙ) が Hom(Fₙ, G)/G に作用するとき、エルゴディック性が成り立つ。ゴールドマンの予想が確認された。
• n = 2 のとき、コンパクト非アーベルリー群内の任意のペアは、セレの性質(F)を満たす群を生成するように変形可能であり、これは非バニラフリーであることを示唆する。
• a と b が正則で、中心化部分群が自明に交わるとき、共役類上の積写像 C(a) × C(b) → G は (a,b) の近傍で開であり、共役類上での積写像の局所全射性が保証される。
• n ≥ 3 のとき、Gⁿ 内で稠密な部分群を生成するn重組の集合は開かつ稠密であり、G が単純群のとき、ペアに対しても同様の性質が成り立つ。