[論文レビュー] On deformations of Yang-Mills algebras

M. V. Movshev|ArXiv.org|Sep 15, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ヤン・ミルズ方程式の普遍的解であるヤン・ミルズ代数 $YM$ の変形理論を、リー代数コホモロジーと循環的コホモロジーを用いて調査する。$H^1(YM, U(YM)) = \mathbb{C} \oplus V \oplus \Lambda^2(V)$ を計算し、無限小的対称性がスケーリング、平行移動、ローレンツ回転に対応することを特定し、ラグランジアンの非同値な変形を記述する生成関数 $F(t)$ を導出。これにより、標準的な場の再定義を超えた非ラグランジュ的変形が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

This is a next paper from a sequel devoted to algebraic aspects of Yang-Mills theory. We undertake a study of deformation theory of Yang-Mills algebra YM - a ``universal solution'' of Yang-Mills equation. We compute (cyclic) (co)homology of YM.

研究の動機と目的

• ヤン・ミルズ方程式の普遍的解としてのヤン・ミルズ代数 $YM$ の代数的構造を理解すること。
• 特に $H^1(YM, U(YM))$ および $H^1(YM, YM)$ を計算することで、ヤン・ミルズ代数の無限小的対称性を同定すること。
• スケーリング加重で分類された変形クラスの生成関数 $F(t)$ を構成することで、ヤン・ミルズラグランジアンの非同値な変形を分類すること。
• 標準的な場の再定義を超えた非ラグランジュ的変形が存在するかを調査すること。

提案手法

• Cartan-Chevalley複体を用いて、$\mathfrak{g} = YM$ および $N = YM$ または $U(YM)$ の場合のリー代数コホモロジー $H^k(\mathfrak{g}, N)$ を計算する。
• $H^1(YM, U(YM))$ を $\mathbb{C} \oplus V \oplus \Lambda^2(V)$ への分解により計算し、スケーリング、平行移動、ローレンツ対称性を特定する。
• 対数導関数と関数 $\psi(k) = \sum_{l|k} 1$ を用いて、非同値な変形の生成関数 $F(t)$ を構成する。
• 対称代数の恒等式と生成関数を用いて、自由代数の循環的コホモロジーをコホモロジー不変量と関連付ける。
• Bar双対性と Tor函手を用いて $HC_0(U(TYM))$ を生成関数 $M(t)$ と関連付け、$\overline{HC}_0(U(TYM))(t) = -\sum_{k>0} \ln(1 - t^{2k}M(t^k))$ を導出する。
• 変形クラスの生成関数としての公式 $F(t) = 1 - \sum_{k \geq 1} \ln(1 - \dim V \cdot t^{2k} + \dim V \cdot t^{4k} - t^{8k}) \frac{\psi(k)}{k} + (\frac{\dim V(\dim V - 1)}{2} - 1)t^8 + \dim V t^6$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一コホモロジー $H^1(YM, U(YM))$ の構造は何か？ そして、ヤン・ミルズ理論の背景依存のない対称性とどのように関係するか？
• RQ2 ヤン・ミルズラグランジアンの非同値な変形をどのように分類できるか？ その変形クラスの生成関数は何か？
• RQ3 ラグランジアンの修正によって誘導されないヤン・ミルズ代数の変形は存在するか？ そして、それらはどのように検出可能か？
• RQ4 普遍包あくり代数 $U(YM)$ の循環的コホモロジーは何か？ そして、$YM$ の変形理論とどのように関係するか？

主な発見

• 第一コホモロジー $H^1(YM, U(YM))$ は $\mathbb{C} \oplus V \oplus \Lambda^2(V)$ に分解され、それぞれスケーリング、平行移動、ローレンツ回転に対応する。
• 中心 $U(YM)$ は自明である。$H^0(YM, U(YM)) = \mathbb{C}$ かつ $H^0(YM, YM) = 0$ であるため。
• 非同値な変形の生成関数 $F(t)$ は $F(t) = 1 - \sum_{k \geq 1} \ln(1 - \dim V \cdot t^{2k} + \dim V \cdot t^{4k} - t^{8k}) \frac{\psi(k)}{k} + \left(\frac{\dim V(\dim V - 1)}{2} - 1\right)t^8 + \dim V t^6$ で与えられる。
• 生成関数 $F(t)$ には $t^6$ および $t^8$ の明示的な補正項が含まれており、これらは自由代数の構造と変形空間の加重構造に起因する。
• 自由リー代数 $V$ 上の生成関数 $M(t)$ を用いて、$U(TYM)$ の循環的コホモロジーは $\overline{HC}_0(U(TYM))(t) = -\sum_{k>0} \ln(1 - t^{2k}M(t^k))$ として計算される。
• 生成関数 $F(t)$ の構造により、標準的なラグランジュ摂動から導出できない非ラグランジュ的変形が存在することが示唆される。