[論文レビュー] On deforming and breaking integrability

Y. F. Adans, Marius de Leeuw+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2026

Quantum many-body systems被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、統合可能モデルの4つの最近邻変形を分類し、それらをXXZスピン鎖に適用して、スペクトル統計とR行列構造を通じた統合性の破れ方を分析し、モデル依存のカオス発生を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we study nearest-neighbour deformations of integrable models. After expanding in the deformation parameter, we identify four possible types of deformations. First there are deformations that simply break or preserve integrability. Then we find two different subtle cases. The first case is where the deformation is only integrable if all orders of the deformation parameter are taken into account. An example of these are the long-range deformations that appear in holographic models. The second case is when the deformation is perturbatively integrable to some order in the deformation parameter but can not be extended to an integrable model. In this paper we work this out for the XXZ spin chain and discuss the level statistics of each of these cases. We find numerical evidence that the onset of chaos occurs differently in each of these models. For the perturbatively integrable models, we find that the deformation strength at which chaos appears demonstrates a volume-scaling intermediate between strong and weak integrability breaking models.

研究の動機と目的

• 統合可能なハミルトニアンにおける最近邻の可能な変形を識別・分類する。
• ブースト演算子形式を用いて、変形パラメータの秩次で積分可能性条件を導出する。
• この枠組みをXXZスピン鎖に適用し、どの変形が積分性を保持・破壊するかを写像する。
• 異なる変形クラスの発展でカオスの発現を特徴付けるためにスペクトル統計を研究する。
• 関連モデルにおける準統合可能性と長距離変形への示唆を議論する。

提案手法

• 最近邻相互作用を持つ積分可能な哈ミルトニアン密度から出発し、H(ε)=H(0)+εH(1)+…と変形する。
• ブースト演算子を用いて次の保存量Q3を計算し、εで次数ごとに[Q2(ε),Q3(ε)]=0を課す。
• 4つの型に変形を分類する：積分性を保持するもの、積分性を破るもの、すべての次数を含めて初めて積分性を持つ（長距離ホログラフィック変形など）、およびある次数までは積分可能だが完全には不可である準統合可能モデル。
• XXZスピン鎖の変形をパラメータ化し、明示的な制約を伴う第一・第二次の積分性条件を導出。
• Sutherland方程式を介した摂動的R行列を調べ、適用可能な場合にはラ Fox演算子を構築して積分性を検証。
• 対称性区間でスペクトル統計分析（レベル間距離、Brodyパラメータ）を実施し、積分可能領域とカオス領域を比較する。

Figure 1: Level-spacing distributions for integrable, $\epsilon=0.0$ , and chaotic, $\epsilon=0.5$ , regimes in $L=21$ chain in momentum-one sector with even magnetisation which has dimension 49,929 for (Left) $H_{\text{QInt}}$ with $J_{z}=0.68$ , $\alpha=0.82$ , $\beta=1.43$ , $\gamma=1$ . (Right)

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統合可能な最近邻モデルで起こり得る変形の異なるタイプは何か。
• RQ2 どの変形がさまざまな次数で積分性を保持し、どれが必ず破壊するのか。
• RQ3 XXZ型モデルにおいて変形タイプと系サイズに依存するカオスの発現はどのようになるか。
• RQ4 摂動的な変形はR行列構造とラックス表現にどのように現れるか。
• RQ5 さまざまな変形クラスにおけるスペクトル統計の指標（ポアソン vs GOE）はどのように現れるか。

主な発見

• 4つの変形タイプを同定：積分性を破るもの、積分性を保持するもの、積分性を得るにはすべての次数が必要な長距離/ホロモタイプの微妙なケース、そしてある次数まで積分可能だが完全には不可の準統合可能モデル。
• 第一階の積分性制約は、XXZで積分性を保つ5つの非自明な変形を許す；他の変形はそれを破る。
• いくつかの変形は準統合可能モデルを生み出し、第一階では積分可能だが全体的な積分性には拡張できないものがある；他方、他の変形は高次で積分的な形に変換可能（モデルA）。
• 準統合可能モデルH_QIntはさらなる項を加えて完全な積分可能モデルにはならず、臨界的変形スケールはε_c ~ L^{-2.5}として、強い取り破れと弱い取り破れの中間的挙動を示す。
• 完全に積分性を破る変形H_dXYZでは、カオスの発現はH_QIntよりも小さな変形で生じ、BrodyパラメータはdXYZの場合により急速に増加する。
• スペクトル統計はεの増加とともにポアソンからGOEへ移行し、モデル依存の遷移プロファイルと有限サイズ効果（対称性区間を含む）も議論される。

Figure 2: Brody parameter $\omega_{B}$ as a function of deformation strength for $L=21$ in the momentum-one, even-magnetisation sector (dim. 49,929) for (Left) $H_{\text{dXYZ}}$ with with $J_{x}=1.63,J_{y}=0.73,J_{z}=1.18$ and $H_{\text{QInt}}$ with $J_{z}=0.68$ , $\alpha=0.82$ , $\beta=1.43$ , $\ga