[論文レビュー] On degeneration of tensors and algebras

Markus Bläser, Vladimir Lysikov|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、結合的代数の退化とその構造テンソルの間の関係を確立し、最小境界ランクを示すテンソルが滑らかで可能な可換代数の積みテンソルに対応することを示している。Coppersmith-Winogradの「簡単な構成」テンソルの境界ランクに対して下界を証明し、n重テンソル積に対しては少なくとも $(q+1)^n + 2^n - 1$ であることを示しており、これが漸近的行列乗算指数が2である可能性を排除するには不十分である。

ABSTRACT

An important building block in all current asymptotically fast algorithms for matrix multiplication are tensors with low border rank, that is, tensors whose border rank is equal or very close to their size. To find new asymptotically fast algorithms for matrix multiplication, it seems to be important to understand those tensors whose border rank is as small as possible, so called tensors of minimal border rank. We investigate the connection between degenerations of associative algebras and degenerations of their structure tensors in the sense of Strassen. It allows us to describe an open subset of $n imes n imes n$ tensors of minimal border rank in terms of smoothability of commutative algebras. We describe the smoothable algebra associated to the Coppersmith-Winograd tensor and prove a lower bound for the border rank of the tensor used in the "easy construction" of Coppersmith and Winograd.

研究の動機と目的

• 最小境界ランクを持つテンソルの構造を理解すること。これは高速行列乗算アルゴリズムにとって不可欠である。
• Strassenの枠組みにおいて、結合的代数の退化とその構造テンソルの退化との関係を明確にすること。
• 滑らかで可能な可換代数を用いて、$n\times n\times n$ テンソルの最小境界ランクの開部分集合を幾何学的に特徴付けること。
• Coppersmith-Winogradの「簡単な構成」テンソルのテンソル積の境界ランクに対して非自明な下界を確立すること。

提案手法

• テンソルランクおよび境界ランクにおける退化の概念を用い、特にランク1分解の極限に注目する。
• 代数幾何学的手法を適用し、2方向においてランク$n$のスライスを持つ最小境界ランクテンソルが滑らかで可能な可換代数から生じることを示す。
• LandsbergとMichałekのアプローチを改変した、ランク下界のための極限版の代入法を導入する。
• Corollary 4.3を用いて境界ランクの下界を導くために、不変量 $m(T) = \min_{u \neq 0} \operatorname{rk}(Tu)$ を用いる。
• Coppersmith-Winograd代数 $A_{CW}$ 及びその根基の構造を分析し、簡単なテンソルに相当する双線形写像を定義する。
• 帰納法およびテンソル積の性質を用いて $m(T_{cw}^{\otimes n}) = 2^n$ を導き、最終的な境界ランク下界に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで可能な可換代数を用いて、幾何学的に特徴付け可能な $n\times n\times n$ テンソルのうち、最小境界ランクを持つものはどれか？
• RQ2 Strassenの枠組みにおいて、結合的代数の退化は、その構造テンソルの退化とどのように関係するか？
• RQ3 代数的手法を用いて、Coppersmith-Winogradの「簡単な構成」テンソルの境界ランクを下から抑えられるか？
• RQ4 簡単なCoppersmith-Winogradテンソルのn重テンソル積の境界ランクが、漸近的行列乗算指数が2である可能性を排除するような方法で増加するか？
• RQ5 簡単なテンソルの双線形写像表現において、根基と射影 $\rho$ が果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 2方向においてランク$n$のスライスを持つ最小境界ランクテンソルは、滑らかで可能な可換代数の構造テンソルと同値である。
• Coppersmith-Winogradテンソルの「簡単な構成」が、$A_{CW}$ の根基上での射影 $\rho$ を用いて定義される双線形写像 $\varphi_{cw} \in M^* \otimes M^* \otimes R$ に等価であることが示された。
• 簡単なCoppersmith-Winogradテンソルのn重テンソル積の境界ランクに対して、下界 $\underline{R}(T_{cw}^{\otimes n}) \geq (q+1)^n + 2^n - 1$ が確立された。
• 本手法により $m(T_{cw}^{\otimes n}) = 2^n$ が証明され、Corollary 4.3を介して境界ランク下界を導く上で不可欠な役割を果たした。
• この下界は非自明であるが、$T_{cw}^{\otimes n}$ の境界ランクが $\sim (q+1)^n$ のように増加するならば、行列乗算の漸近的指数が still 2 である可能性を排除するには不十分である。
• 本稿では、可換代数における滑らか性を用いて、最小境界ランクテンソルの開部分集合を幾何学的かつ代数的に特徴づけた。