[論文レビュー] On degrees of birational mappings

Serge Cantat, Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、射影多様体上の有理写像の次数列の基本的性質を確立し、次数列が有界であることと、無限部分列に沿って有界であることの同値性を証明するとともに、有界でない次数列の成長が任意に遅くはならないこと——特に、射影空間の場合、漸近的に逆の対角アッカーマン関数で下から抑えられることを示している。これらの結果は、p進的技法と、射影的コンパクト化および除数論を用いた幾何的次数解析に依拠している。

ABSTRACT

We prove that the degrees of the iterates ${ m deg}(f^n)$ of a birational map satisfy $\liminf({ m deg}(f^n))

研究の動機と目的

• 有理写像の次数列が有界である条件を、特に部分列に関連して同定すること。
• 射影多様体上の有理写像の有界でない次数列の最小成長率を特定すること。
• 幾何学的およびp進的技法を用いて、次数列が有界でない限り、任意に遅く成長することはできないことを確立すること。
• 特に、高次元においてこのような次数列が十分に理解されていない状況において、有理写像力学における次数論的道具を統一的かつ拡張すること。
• 自己同型および有理写像の文脈において、除数論と交線論を用いた異なる次数の概念の同等性を証明すること。

提案手法

• アフィン多様体 $X$ の正規射影的コンパクト化 $Y$ 上の除数論を用いて、$ (f^*P) + dH \geq 0 $ をすべての $P \in A_1$ に対して満たす最小の $d$ により定義される新しい次数関数 $\deg^H(f)$ を導入する。
• リーマン・ロッホを用いて $\dim A_d \leq \gamma d^k$ を示し、次数 $\leq d$ の自己準同型の数に多項式的上界を与える。
• モジュライ空間内の除数の部分集合の区分的線形構造を介して $p$-進的手法を適用し、反復による集合 $Z_D'(i)$ の崩壊を追跡する。
• シウの不等式と有理写像幾何を用いて $\deg^H(f)$ と標準的な交線論的次数 $\deg_H(f)$ の関係を示し、$ \frac{1}{k}\deg^H(f) \leq \frac{1}{(H^k)}\deg_H(f) \leq \deg^H(f) $ を証明する。
• 群 $G$ として有界次数の有理写像の群の構造を用いて、繰り返し引き戻しのダイナミクスを分析し、ファイバー交叉における成分数の推定を行う。
• 区分的線形集合の既約成分の数に関する帰納法を用いて、減少列 $Z_D'(i)$ の長さ $\ell(D)$ を評価し、アッカーマン関数の逆関数に依存する評価に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像 $f$ に対して、次数列 $\deg(f^n)$ がいつ有界になるか。
• RQ2 次数列が有界でない場合、$\deg(f^n)$ の成長が任意に遅くできるか。
• RQ3 特に $\mathbb{P}^k$ 上で、有界でない次数列の最小成長率は何か。
• RQ4 自己同型および有理写像の文脈において、$\deg^H(f)$ と $\deg_H(f)$ などの異なる次数の概念はどのように関係するか。
• RQ5 幾何学的および算術的技法（例：$p$-進解析や区分的線形幾何）を用いて、次数列のダイナミクスをどの程度制御できるか。

主な発見

• 次数列 $\deg(f^n)$ が有界であることと、ある無限部分列に沿って有界であることとは同値であり、部分列に関する有界性の核心的問題が解決された。
• もし $\deg(f^n)$ が有界でないならば、$\max_{0\leq j\leq n} \deg(f^j)$ は、逆の対角アッカーマン関数のオーダーで増加するため、成長が任意に遅くはならない。
• アフィン多様体の自己同型に対して、$\deg(f^n) \leq d$ を満たす $n$ の数は高々 $\alpha d^k$ 個であり、したがって $\max_{0\leq j\leq n} \deg(f^j) \geq (n/\alpha)^{1/k}$ が成り立ち、成長に対する多項式的下界が得られる。
• 除数論を用いて定義された次数 $\deg^H(f)$ は、$ \frac{1}{k}\deg^H(f) \leq \frac{1}{(H^k)}\deg_H(f) \leq \deg^H(f) $ を満たし、標準的な交線論的次数と同等であることが証明された。
• 減少列 $Z_D'(i)$ の長さ $\ell(D)$ は、$ S(\binom{k+D}{k} - 2) + 1 $ で上から抑えられる。ここで $S$ はアッカーマン関数に関連する関数であり、これは最も遅い成長率を示している。
• 射影空間 $\mathbb{P}^k$ 上での $\deg(f^n)$ の成長は、対角アッカーマン関数の逆関数よりも遅くならない。これは、有界でない次数列の発散速度に対する鋭い下界を確立している。