[論文レビュー] On Delannoy numbers and Schröder numbers

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、デラヌワ数 $D_n$ 及びその一般化形 $D_n(x)$ に対する新しい $p$-進合同式を確立し、それらをオイラー数、フェルマー商、およびルカス数列と関連付ける。$p$ を法とする $D_k/k$ 及び $D_k/k^2$ の和は、$q_p(2)$ 及び $E_{p-3}$ に関係しており、$(-1 \pm \sqrt{-x})^p$ の $p$-進展開を通じて $D_n(x)$ へ拡張され、格子路の数え上げと数論的関数との間の深い算術的関係が明らかになる。

ABSTRACT

The n-th Delannoy number and the n-th Schröder number given by $D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$ and $S_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}/(k+1)$ respectively arise naturally from enumerative combinatorics. Let p be an odd prime. We mainly show that $$\sum_{k=1}^{p-1}D_k/k^2=2(-1/p)E_{p-3} (mod p)$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}S_k/m^k=(m^2-6m+1)/(2m)*(1-((m^2-6m+1)/p) (mod p),$$ where (-) is the Legendre symbol, E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers and m is any integer not divisible by p. We also conjecture that $\sum_{k=1}^{p-1}D_k^2/k^2=-2q_p(2)^2 (mod p)$, where $q_p(2)=(2^{p-1}-1)/p$.

研究の動機と目的

• 中心的デラヌワ数 $D_n$ 及びその一般化形 $D_n(x)$ に対する新しい $p$-進合同式を導出すること。これにより、古典的な数論的関数と関連付ける。
• $p$ を法とする $D_k/k$ 及び $D_k/k^2$ を含む和の算術的構造を調査すること。特にフェルマー商 $q_p(2)$ 及びオイラー数 $E_{p-3}$ との関係を明らかにすること。
• $p$-進整数 $x$ に対して一般化デラヌワ多項式 $D_n(x)$ へこれらの結果を拡張し、二項係数および超幾何級数の $p$-進展開を通じて代数的構造を明らかにすること。
• デラヌワ数とペル数、フィボナッチ数、ルカス数の系列との間の関係を、$p$ および $p^2$ を法とする合同式を通じて探求すること。特に二次形式 $x^2 + 3y^2$ や $x^2 + 15y^2$ との関連を強調する。

提案手法

• $p$-進整数 $x$ に対して、生成関数の操作と $p$-進展開を用いて、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$ という重要な恒等式を導出する。
• 特に $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$ である既知の調和和および二項係数の合同式を適用し、$D_k/k$ に関する和を既知の $p$-進表現に還元する。
• 二項係数の恒等式と $p$-進逆数を用いて導出された、$s=1,2$ に対して $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(-1)^k}{k^s} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k^s} \pmod{p}$ という恒等式を用いる。
• 恒等式 $(-1)^n D_n(x) = D_n(-x-1)$ を用いて、符号が交互な和を他のパrameter化と関連付け、対称性に基づく簡約を可能にする。
• ルカス数列 $\{P_n\}$、$\{F_n\}$、$\{L_n\}$ を用いて、$D_k(-2)$、$D_k(-5)$、$D_k(-4)$ に関する合同式を表現し、$p$-進付値および類数形式と関連付ける。
• 補題を用いてカタラン数 $C_k$ を介し、スレーディンガー数 $S_k$ に対する定理 1.2 を証明し、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k} \equiv \frac{m^2 - 6m + 1}{2m} \left(1 - \left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)\right) \pmod{p}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2}$ 及び $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k}$ という形の和は $p$ を法としてどのように振る舞い、どのような数論的関数と関係するか？
• RQ2 一般化デラヌワ数 $D_n(x)$ を用いて、$(-1 \pm \sqrt{-x})^p$ を含む $p$-進合同式を導出できるか？
• RQ3 $D_k(-2)$、$D_k(-5)$ とペル数やフィボナッチ数列との間の関係は、$p$ を法としてどのように現れるか？
• RQ4 スレーディンガー数 $S_k$ に対する和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k}$ は $p$ を法としてどのように振る舞い、リーマン記号 $\left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)$ は果たす役割は何か？
• RQ5 デラヌワ数と二次形式 $p = x^2 + 3y^2$ や $p = x^2 + 15y^2$ の間のより深い算術的構造は、$p^2$ を法とする合同式においてどのように現れるか？

主な発見

• 任意の奇素数 $p$ に対して、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2} \equiv 2\left(\frac{-1}{p}\right) E_{p-3} \pmod{p}$ が成り立ち、デラヌワ数がオイラー数と関連していることを示す。
• $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$ が成り立ち、$q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$ であるため、フェルマー商と直接的な関係が確立される。
• 一般化デラヌワ多項式に対して、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$ が成り立ち、任意の $p$-進整数 $x$ に対して有効である。これは強力な生成関数の合同式を提供する。
• 系 1.1 により、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-4)}{k} \equiv \frac{3 - 3^p}{p} \pmod{p}$ および $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-2)}{k} \equiv -\frac{4}{p} P_{p - (\frac{2}{p})} \pmod{p}$ が得られ、ペル数と関連する。
• スレーディンガー数に関して、$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k} \equiv \frac{m^2 - 6m + 1}{2m} \left(1 - \left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)\right) \pmod{p}$ が成り立ち、$m=6$ かつ $p > 3$ の場合に特に消えるケース（$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{6^k} \equiv 0 \pmod{p}$）が顕著に現れる。
• 予想 1.2 では、$\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k D_k(x)^3$ に対する $p^2$ を法とする深い合同式が提起され、$p \mod 3$、$24$、$15$ に応じて、$p$ が $x^2 + 3y^2$、$x^2 + 6y^2$、$x^2 + 15y^2$ として表される表現と関連づけられる。