[論文レビュー] On densely complete metric spaces and extensions of uniformly continuous functions in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ツェルメロ＝ラッパー集合論（ZF）において、可算選択公理（CAC）が、次のようなメトリック空間の基本的性質と同値であることを確立している：任意の稠密に完備なメトリック空間は完備である、稠密な部分空間上で一様連続な関数は全体空間に連続に拡張可能である、および完全な部分空間は閉じている。さらに、これらの結果を実数直線に制限した場合、CAC(R)と同値であるが、実数値関数の拡張性質は、厳密に弱く、Rが逐次的であることと同値であることが示された。

ABSTRACT

A metric space $\mathbf{X}$ is called densely complete if there exists a dense set $D$ in $\mathbf{X}$ such that every Cauchy sequence of points of $D $ converges in $\mathbf{X}$. One of the main aims of this work is to prove that the countable axiom of choice, $\mathbf{CAC}$ for abbreviation, is equivalent with the following statements:\smallskip (i) Every densely complete (connected) metric space $\mathbf{X}$ is complete.\smallskip\ (ii) For every pair of metric spaces $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$, if $% \mathbf{Y}$ is complete and $\mathbf{S}$ is a dense subspace of $\mathbf{X}$% , while $f:\mathbf{S} ightarrow \mathbf{Y}$ is a uniformly continuous function, then there exists a uniformly continuous extension $F:\mathbf{X} o% \mathbf{Y}$ of $f$.\smallskip (iii) Complete subspaces of metric spaces have complete closures.\smallskip (iv) Complete subspaces of metric spaces are closed.\smallskip It is also shown that the restriction of (i) to subsets of the real line is equivalent to the restriction $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ of $\mathbf{CAC}$ to subsets of $\mathbb{R}$. However, the restriction of (ii) to subsets of $% \mathbb{R}$ is strictly weaker than $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ because it is equivalent with the statement that $\mathbb{R}$ is sequential. Moreover, among other relevant results, it is proved that, for every positive integer $% n$, the space $\mathbb{R}^n$ is sequential if and only if $\mathbb{R}$ is sequential. It is also shown that $\mathbb{R} imes\mathbb{Q}$ is not densely complete if and only if $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ holds.

研究の動機と目的

• 稠密に完備なメトリック空間の論理的強さと、ZF集合論における一様連続関数の拡張に果たす役割を調査すること。
• 稠密な部分空間から全体空間への一様連続関数の拡張に必要な正確な集合論的公理を特定すること。
• 弱い選択公理の下で、完備性、閉性、逐次性の関係を明確にすること。
• 関数拡張定理の文脈において、CAC(R)とRの逐次性の違いを検討すること。
• R×Qのような空間の位相的および集合論的性質と、それらが完備性および選択公理に与える影響を調査すること。

提案手法

• 稠密に完備なメトリック空間の概念を導入し、部分集合DがすべてのD内のコーシー列が空間内で収束することを意味する。
• 完全選択公理が存在しない状況での位相的性質を、逐次的閉包と逐次的連続性を用いて分析する。
• 可算選択公理（CAC）およびその実数への制限（CAC(R)）を用いて、完備性と拡張性質の同値性を証明する。
• 理想に対するバーレー性質（BPI）をCAC(R)と組み合わせ、選択関数を構成し、コンパクトなメトリック空間における関数拡張を証明する。
• R^nおよびR×Qの構造を分析して、独立性の結果を導出する：R×Qは稠密に完備でない（かつただしそのときのみ）CAC(R)が成り立つ。
• メトリック積構成と一様連続性を用いて、稠密な部分空間からの関数の拡張を定義・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算選択公理（CAC）は、任意の稠密に完備なメトリック空間が完備であるという命題と同値であるか？
• RQ2 稠密な部分空間上で一様連続な関数が全体空間に連続に拡張可能であることは、ZFにおいてCACを含意するか？
• RQ3 Rの逐次性は、Rの稠密な部分集合上で定義された一様連続関数の拡張と同値であるか？また、CAC(R)と比べてどのように異なるか？
• RQ4 ZFにおいて、メトリック空間の完全な部分空間は常に閉じているか？この性質を保証するにはどの程度の公理的強さが必要か？
• RQ5 ZFにおいて、R×Qの稠密完備性とCAC(R)の成立との関係は何か？

主な発見

• ZFにおいて、CACは任意の稠密に完備なメトリック空間が完備であるという命題と同値である。
• ZFにおいて、稠密な部分空間から全体空間への一様連続関数の拡張は、CACと同値である。
• メトリック空間における完全な部分空間の閉包が完全であることは、CACが成り立つときに限り成り立つ。
• メトリック空間における完全な部分空間が閉じていることは、CACが成り立つときに限り成り立つ。
• Rの逐次性は、Rの稠密な部分集合上で定義された一様連続関数の拡張と同値であるが、これはCAC(R)よりも厳密に弱い。
• R×Qは、CAC(R)が成り立つときに限り稠密に完備でないことが示され、その完備性に関する正確な集合論的特徴づけが得られた。