[論文レビュー] On dependence of the implied volatility on returns for stochastic volatility models

Mikhail Martynov, Olga Rozanova|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特にヘストンモデルを用いた確率的ボラティリティモデルにおけるインプライド・ボラティリティが、株価リターンにどのように依存するかを、固定されたリターン条件下での分散の条件付き期待値を分析することによって調査している。その結果、平均リターン付近ではこの条件付き期待値が下に凸であることが判明した。この効果は正規分布に従うリターンでは顕著であるが、リターン分布の裾が重くなるにつれて弱まることが示された。

ABSTRACT

We study the dependence of volatility on the stock price in the stochastic volatility framework on the example of the Heston model. To be more specific, we consider the conditional expectation of variance (square of volatility) under fixed stock price return as a function of the return and time. The behavior of this function depends on the initial stock price return distribution density. In particular, we show that the graph of the conditional expectation of variance is convex downwards near the mean value of the stock price return. For the Gaussian distribution this effect is strong, but it weakens and becomes negligible as the decay of distribution at infinity slows down.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティフレームワーク内でのインプライド・ボラティリティと株価リターンの依存関係を検討すること。
• 固定された株価リターン条件下での分散（ボラティリティの二乗）の条件付き期待値をモデル化すること。
• リターン分布の裾の形状が、条件付き分散関数の曲率に与える影響を調査すること。
• 条件付き分散関数の凸性が顕著または無視できる条件を特定すること。

提案手法

• 研究は分析の基盤としてヘストン確率的ボラティリティモデルを用いている。
• モデルのダイナミクスを用いて、固定された株価リターン条件下での分散の条件付き期待値を計算している。
• 分析は、リターンと時間の関数としてのこの条件付き期待値の関数的形に焦点を当てている。
• 初期のリターン分布の密度を明示的にモデル化しており、特に正規分布と肥大尾分布に注目している。
• 平均リターン付近での条件付き分散関数の曲率を分析し、凸性を評価している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘストンモデルにおいて、条件付き期待値である分散は株価リターンにどのように変化するか？
• RQ2 平均リターン付近での条件付き分散関数の形状はどのようなものか？また、下に凸であるか？
• RQ3 初期のリターン分布の裾の挙動は、条件付き分散関数の凸性の強さにどのように影響するか？
• RQ4 どのような分布仮定のもとで、インプライド・ボラティリティとリターンの依存関係が無視できるようになるか？

主な発見

• ヘストンモデルにおいて、平均株価リターン付近では、分散の条件付き期待値が下に凸である。
• リターン分布が正規分布の場合、この凸性効果は強く、インプライド・ボラティリティとリターンの依存関係が顕著に現れる。
• リターン分布の無限大における減衰が遅くなる（つまり、裾が重くなる）につれて、この凸性効果は顕著に弱まる。
• 肥大尾分布では、モデル構造が同じであっても、インプライド・ボラティリティとリターンの依存関係は無視できるようになる。