[論文レビュー] On Derivation of Compressible Fluid Systems on an Evolving Surface

Hajime Koba|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、エネルギー的変分的原理と熱力学的法則を用いて、進化する表面における圧縮性流体方程式の包括的体系を導出する。ボッシネスク＝スリーヴェン表面応力テンソルの数学的妥当性を、第一原理から運動量、エネルギー、輸送方程式を導出することで確立する。粘性、圧力仕事、リーマン幾何学的および流れ写像による表面の進化を組み込む。

ABSTRACT

We consider the governing equations for the motion of compressible fluid on an evolving surface from both energetic and thermodynamic points of view. We employ our energetic variational approaches to derive the momentum equation of our compressible fluid systems on the evolving surface. Applying the first law of thermodynamics and the Gibbs equation, we investigate the internal energy, enthalpy, entropy, and free energy of the fluid on the evolving surface. We also study conservative forms and conservation laws of our compressible fluid systems on the evolving surface. Moreover, we derive the generalized heat and diffusion systems on an evolving surface from an energetic point of view. This paper gives a mathematical validity of the surface stress tensor determined by the Boussinesq-Scriven law. Using a flow map on an evolving surface and applying the Riemannian metric induced by the flow map are key ideas to analyze fluid flow on the evolving surface.

研究の動機と目的

• エネルギー的および熱力学的原理から、進化する表面における一貫性のある圧縮性流体方程式のセットを導出すること。
• エネルギー散逸および仕事項を介して、表面応力テンソルを記述するボッシネスク＝スリーヴェンの法則の数学的根拠を提供すること。
• 質量、運動量、エネルギー、および濃度の保存形および保存則を、進化する表面において定式化すること。
• 変分原理および非線形エネルギー密度を用いて、進化する表面における熱および拡散方程式を一般化すること。
• 時間的に変化する流れ写像によって誘導されるリーマン計量を用いて、表面流体力学を連続体力学と統合すること。

提案手法

• 作用関数および散逸関数の汎関数から、運動量およびエネルギー方程式を導出するエネルギー的変分的アプローチ（AVA）を適用する。
• 熱力学の第一および第二法則を用いて、進化する表面における内部エネルギー、エントロピー、エンタルピー、自由エネルギーを導出する。
• 物質微分 $ D_t = \frac{\nabla}{\nabla t} + (v, \nabla) $ および表面発散 $ \mathrm{div}_\Gamma $ を用いて、進化する多様体上での輸送をモデル化する。
• 流れ写像とその写像によって誘導されるリーマン計量を導入し、表面勾配、発散、および応力テンソルを定義する。
• 粘性散逸および圧力仕事から表面応力テンソル $ S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) $ を導出し、ボッシネスク＝スリーヴェンの法則の妥当性を検証する。
• 非線形エネルギー密度 $ e_{TD} = e_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) $ および $ e_{SD} = e_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) $ を仮定することで、熱および拡散系を一般化し、非線形フラックスを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 進化する表面における圧縮性流体力学は、どのようにエネルギー的および熱力学的原理から導出可能か？
• RQ2 表面流体力学におけるボッシネスク＝スリーヴェンの法則の数学的根拠は何か？
• RQ3 進化する表面において、質量、運動量、エネルギー、および濃度の保存則はどのようにして出現するか？
• RQ4 変分法を用いて、どのようにして進化する表面における熱および拡散方程式を一般化できるか？
• RQ5 流れ写像によって誘導されるリーマン計量は、表面流体の流れをモデル化する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 運動量方程式 $ \rho D_t v = \mathrm{div}_\Gamma S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) + \rho F $ はエネルギー的変分的原理から導出され、$ S_\Gamma $ には粘性および圧力寄与が含まれる。
• 表面応力テンソル $ S_\Gamma $ は、エネルギー散逸および圧力による仕事から生じることを数学的に検証し、ボッシネスク＝スリーヴェンの法則を確認する。
• エネルギー方程式 $ \rho D_t e + (\mathrm{div}_\Gamma v)\sigma = \mathrm{div}_\Gamma q_\theta + \rho Q_\theta + \tilde{e}_D $ には、粘性散逸 $ \tilde{e}_D = 2\mu|D_\Gamma(v)|^2 + \lambda|\mathrm{div}_\Gamma v|^2 $ が含まれる。
• 一般化された熱系 $ \rho D_t(C_\theta \theta) = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) \mathrm{grad}_\Gamma \theta) + \rho Q_\theta + \mathcal{F}_1 $ は、古典的フォアラー熱伝導を進化する表面へと拡張する。
• 拡散方程式 $ D_t C + (\mathrm{div}_\Gamma v)C = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) \mathrm{grad}_\Gamma C) + Q_C + \mathcal{F}_2 $ は、非線形的かつ進化する表面幾何におけるフィック拡散を一般化する。
• 本フレームワークは、一貫性のある変分的および熱力学的基礎から、標準的および非標準的圧縮性流体系（バロトロピックモデルを含む）を成功裏に導出する。