[論文レビュー] On determinants of random symmetric matrices over Z_m

Richard P. Brent, Brendan D. McKay|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、対称的ガウスの消去法と漸化式を用いて、$ℤ_m$ 上のランダムな $n \times n$ 対称行列の行列式が $m$ で割り切れる確率の明示的公式を導出する。主な貢献は、$p$, $\mu$, $n$ に依存する $Q(n, p^\mu)$（すなわち、$ℤ_{p^\mu}$ における特異行列式の確率）の閉形式解であり、$q = 1/p$ および $q$-ポッホハマー記号を用いた無限積で表される。

ABSTRACT

We determine the probability that a random n x n symmetric matrix over {1, 2, ... , m} has determinant divisible by m.

研究の動機と目的

• ランダムな $n \times n$ 対称行列が $ℤ_m$ 上で行列式を $m$ で割り切る確率 $Q(n, m)$ を特定すること。
• 素数の冪におけるモジュロ算術と対称性制約を組み込んだ、従来のランダム行列に関する結果の拡張。
• 素数の冪 $p^\mu$ における特異行列式の確率 $Q(n, p^\mu)$ の閉形式表現を導出すること。
• 行列式のフル $m$-ランクである確率 $P(n, p^\mu)$ の漸近的挙動および単調性を、$n$ の増加に伴って分析すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}_{p^\mu}$ 上で対称的ガウスの消去法を用い、行および列の操作において行列の対称性を保持する。
• 先頭成分が $p$ および $p^2$ でどうなるかに応じた場合分けに基づき、$P(n, p^\mu)$ の五項漸化式を確立する。
• 代数的恒等式と母関数を用いて、五項漸化式を代数的に簡約し、三項漸化式に還元する。
• $q$-ポッホハマー記号 $\Pi_n(q) = \prod_{j=1}^n (1 - q^j)$ および補助関数 $T_1(k,s)$ と $T_3(k,s)$ を用いて、三項漸化式を明示的に解く。
• 冗長な項が相殺される恒等式を用いて、$Q(n, p^\mu) = 1 - P(n, p^\mu)$ の数値的に安定な表現を導出する。
• 誤差項の境界を用いて $R = O(q^{3\mu/2})$ を示し、確率の漸近的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな対称 $n \times n$ 行列が $ℤ_m$ 上で行列式を $m$ で割り切る正確な確率は何か？
• RQ2 行列式が $p^\mu$ で割り切れる確率は、$n$, $p$, および $\mu$ にどのように依存するか？
• RQ3 $P(n, p^\mu)$ の漸化式を三項形式に簡約できるか？ また、それを明示的に解けるか？
• RQ4 $n \to \infty$ のとき、$Q(n, p^\mu)$ の極限挙動はいかなるものか？
• RQ5 非ゼロの行列式値 $d$ に対する確率は、$d$ の値にどのように依存するか？

主な発見

• $\mathbb{Z}_{p^\mu}$ 上のランダムな $n \times n$ 対称行列の行列式が $p^\mu$ で割り切れる確率 $Q(n, p^\mu)$ は、$Q(n, p^\mu) = \frac{q^\mu(1 - q^n) - R}{1 - q}$ で与えられる。ここで $R$ は $O(q^{3\mu/2})$ で有界な補正項である。
• 明示的解として、$P(n, p^\mu) = \frac{\Pi_{2k}(q)}{(1 - q)\Pi_k(q^2)} \left( (1 - q^{2k+1})T_3(k,s) - q^\mu(1 - q^n)T_1(k,s) \right)$ が得られる。ここで $k = \lfloor n/2 \rfloor$, $s = \lfloor(\mu - 1)/2\rfloor$, $q = 1/p$ である。
• 確率 $P(n, p^\mu)$ は $n$ に関して非増加的であり、$\mu$ に関して非減少的であるため、$\lim_{n \to \infty} Q(n, p^\mu)$ が存在し、$[q^\mu, q^\mu / (1 - q)]$ の範囲にあることが示される。
• 十分大きな $n$ に対して、極限確率 $\lim_{n \to \infty} Q(n, p^\mu)$ は $\left(q^\mu - \frac{\Pi_\infty(q)}{\Pi_\infty(q^2)} \sum_{j=s+1}^\infty \frac{q^{\mu+j} - q^{3j}}{\Pi_j(q^2)} \right) / (1 - q)$ として表される。
• 行列式が $d \not\equiv 0 \pmod{p^\mu}$ である確率は $d$ に依存し、$\mu = 1$ のとき、リーマン・ヤコビ記号と $q$-積を含む公式が得られる。
• 漸化式および解はすべての $n \geq 1$, $\mu \geq 1$ に対して有効であり、$\mu = 1$ のとき既知の公式を高次の素数の冪へ一般化する。