[論文レビュー] On dibaric and evolution algebras

M. Ladra, B. A. Omirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可換代数においてℝへの非零な準同型が存在しない代数であるdibaric代数の理論を、bq-準同型（ℝへの線形汎関数の対）を導入することで発展させる。代数がdibaricであることと、非零なbq-準同型をもつことは同値であることが確立される。主たる貢献は、この枠組みを両性の個体群の進化代数に適用し、その代数が保存的であるか、線形作用素によって誘導されるかの条件を特定するとともに、遺伝的係数を用いた代数準同型の条件を導出することにある。

ABSTRACT

We find conditions on ideals of an algebra under which the algebra is dibaric. Dibaric algebras have not non-zero homomorphisms to the set of the real numbers. We introduce a concept of bq-homomorphism (which is given by two linear maps $f, g$ of the algebra to the set of the real numbers) and show that an algebra is dibaric if and only if it admits a non-zero bq-homomorphism. Using the pair $(f,g)$ we define conservative algebras and establish criteria for a dibaric algebra to be conservative. Moreover, the notions of a Bernstein algebra and an algebra induced by a linear operator are introduced and relations between these algebras are studied. For dibaric algebras we describe a dibaric algebra homomorphism and study their properties by bq-homomorphisms of the dibaric algebras. We apply the results to the (dibaric) evolution algebra of a bisexual population. For this dibaric algebra we describe all possible bq-homomorphisms and find conditions under which the algebra of a bisexual population is induced by a linear operator. Moreover, some properties of dibaric algebra homomorphisms of such algebras are studied.

研究の動機と目的

• bq-準同型を用いたdibaric代数の特徴付けを行い、baric代数の概念を一般化すること。
• 性別に依存する遺伝を有する両性の個体群をモデル化する進化代数の構造を調査すること。
• このような進化代数が保存的であるか、線形作用素によって誘導されるかの条件を特定すること。
• 両性の個体群の進化代数間の代数準同型を分析すること。
• 非baric代数が両性の生殖から生じる文脈において、特に集団生物学の遺伝的モデルにこの理論を適用すること。

提案手法

• 代数からℝへの線形写像の対 (f, g) としてbq-準同型の概念を導入し、ℝへの準同型を一般化する。
• 代数がdibaricであることと、非零なbq-準同型をもつことは同値であることを証明する。
• すべてのxに対してf(x) = g(x)を満たす代数を保存的代数と定義し、dibaric代数が保存的であるための基準を導出する。
• 進化代数のうち、両性の個体群（EABP）を、雌性および雄性の子孫の遺伝的係数P_{ik,j}^{(f)}およびP_{ik,l}^{(m)}を用いて定義する。
• 基底{e_i^{(f)}, e_j^{(m)}}を用いて代数演算を表現し、線形汎関数X(z) = 雌性係数の和、Y(z) = 雄性係数の和を定義する。
• EABPが線形作用素Aによって誘導されるための条件を導出し、A(z) = 2z e_1^{(f)}を満たすための必要十分条件は、すべてのi=1,…,nおよびj=1,…,νに対してe_i^{(f)} e_j^{(m)} = e_1^{(f)} e_j^{(m)}であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dibaric代数が非零なbq-準同型をもつための条件は何か？ そして、これはdibaric構造をどのように特徴付けるか？
• RQ2 dibaric代数が保存的であるとはどのような状況か？ また、関数 f と g はこの特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 両性の個体群の進化代数が線形作用素によって誘導されるための条件は何か？
• RQ4 二つのEABP代数間の線形写像が準同型であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 遺伝的係数P_{ik,j}^{(f)}およびP_{ik,l}^{(m)}は、EABP代数の代数的構造および準同型性にどのように寄与するか？

主な発見

• 代数がdibaricであることと、非零なbq-準同型 (f, g) をもつことは同値であり、ここでfとgはℝへの線形汎関数である。
• dibaric代数が保存的であることと、すべての代数の元xに対してf(x) = g(x)が成り立つことは同値であり、これは関数 f と g が代数全体で一致するときに成立する。
• 両性の個体群の進化代数が線形作用素Aによって誘導されるための必要十分条件は、すべてのi=1,…,nおよびj=1,…,νに対してe_i^{(f)} e_j^{(m)} = e_1^{(f)} e_j^{(m)}が成り立つことである。
• このような誘導された代数に対して、作用素はすべてのzに対してA(z) = 2z e_1^{(f)}と与えられる。
• 二つのEABP代数間の準同型hは、すべてのi,jに対してX(h(e_i^{(f)})) = 1、X(h(e_j^{(m)})) = 0、Y(h(e_i^{(f)})) = 0、Y(h(e_j^{(m)})) = 1を満たす。
• EABP代数間の非零な準同型の存在は、準同型の公理から導かれる関数的制約と遺伝的係数の整合性に依存する。