[論文レビュー] On dimension and regularity of bundle measures

Rami Ayoush, Michał Wojciechowski|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、同次線束の $l$-反対称性に基づく新しいスケールを用いて、ベクトル値測度の反対称性をフーリエ解析的枠組みで定量化する手法を導入する。この枠組みにより、このような測度の可rectifiable次元およびハウスドルフ次元に対する下界を確立し、$2$-wave cone型の条件が成り立つ場合、ハウスドルフ次元が少なくとも $2$ 以上であることを証明するとともに、$\mathcal{H}^1$ 有限な $1$-純粋非可rectifiable集合上ではバンドル測度が消えることを示す。

ABSTRACT

In this paper we quantify the notion of antisymmetry of the Fourier transform of certain vector valued measures. The introduced scale is related to the condition appearing in Uchiyama's theorem and is used to give a lower bound for the rectifiable dimension of those measures. Moreover, we obtain an estimate of the lower Hausdorff dimension assuming certain more restrictive version of the $2$-wave cone condition. Results of our considerations can be viewed as an uncertainty-type principle in the following way: it is impossible to simultaneously localize a (bundle) measure and a direction of its Fourier transform on small sets. The investigated class is modeled on the example of gradients of BV functions. The article contains also a theorem concerning regularity: we prove that elements of considered class vanish on 1-purely unrectifiable sets. Our results can be applied to studying the properties of PDE-constrainted measures.

研究の動機と目的

• 同次線束の $l$-反対称性に基づく新しいスケールを用いて、ベクトル値測度のフーリエ変換の反対称性を定量化すること。
• バンドルに幾何的および正則性条件を課した下で、バンドル測度の可rectifiable次元およびハウスドルフ次元に対する下界を確立すること。
• 微分作用素のキャンセリング性やwave cone条件を満たす測度に一般化されたPDE制約付き測度に対して、フーリエ解析的および幾何的技法を用いて結果を拡張すること。
• バンドル測度が、$\mathcal{H}^1$ 有限な $1$-純粋非可rectifiable集合上で消えることを証明し、古典的な可rectifi行列理論を一般化すること。
• $\mathbb{R}^3$ 上の $BV$ 勾配に対して、coarea公式に依存しないフーリエ解析的証明により次元推定を行うこと。

提案手法

• 任意の $(l+1)$-次元部分空間上に異なるファイバーを持つような線束 $\phi$ に対する $l$-反対称性の概念を導入する。
• $\phi$ が $l$-反対称である最小の $l$ を $a(\phi)$ と定義し、これを用いて $\dim_H(\mu)$ の下界に関する予想を定式化する。
• フーリエ変換に適応された修正版の測度論的 blow-up 法を適用し、滑らかで定数でない $\phi$ に対して $\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$ を証明する。
• $s$-リエズ集合とセーレム集合を組み合わせ、片側フロストマン補題を用いて、$2$-wave cone 条件のもとで $\dim_H(\mu) \geq 2$ を証明する。
• ベシコビッチ＝フェデラー射影定理を適用し、$\phi$ が指数 $>1/2$ のホルダー連続であれば、$\mathcal{H}^1$ 有限な $1$-純粋非可rectifiable集合上では $\mu$ が消えることを示す。
• 非同次バンドルに一般化するため、$L^2$-摂動を許容し、特異集合の構造が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンドル $\phi$ の反対称性とその関連測度の次元との間には、どのような正確な関係が存在するか？
• RQ2 バンドル測度の可rectifiable次元は、$n - a(\phi)$ で下から抑えられるか。そのような下界が成り立つための正則性条件は何か？
• RQ3 バンドル $\phi$ にどのような条件を課すと、測度 $\mu$ のハウスドルフ次元が $\dim_H(\mu) \geq 2$ を満たすか？
• RQ4 バンドル測度が、$\mathcal{H}^1$ 有限な $1$-純粋非可rectifiable集合にどれほど質量を割り当てるか？
• RQ5 PDE制約付き測度、特にキャンセリング性やwave cone条件を満たす微分作用素から生じる測度に、結果はどのように拡張されるか？

主な発見

• 滑らかで定数でない線束 $\phi$ に従属するバンドル測度 $\mu$ に対して、$\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$ が成り立ち、やや弱い幾何的仮定のもとで予想が裏付けられる。
• $\mu$ が可rectifiableであれば、$\dim_H(\mu) \geq \frac{n}{2}$ であるか、あるいは $\mu$ は本質的にスカラー値（値が一つの直線上に存在）である。
• $2$-wave cone 条件——具体的には、有限個の $2$-次元部分空間 $V_i$ が存在し、$\phi(V_i \setminus \{0\}) \subset W_i$ かつ $\bigcap_i W_i = \{0\}$ を満たす——が成り立つ場合、$\mu$ のハウスドルフ次元は少なくとも $2$ 以上である。
• 指数 $> \frac{1}{2}$ のホルダー連続バンドルに対しては、任意の $\mathcal{H}^1(F) < \infty$ を満たす $1$-純粋非可rectifiableボレル集合 $F$ 上で $\mu$ は消える。これは、$BV$ 勾配に関する古典的結果を一般化する。
• 非同次バンドルに一般化するにあたり、$L^2$-摂動を許容したが、その結果、平方可 summable な誤差は特異集合の構造に影響しないことが示された。
• この枠組みにより、$BV(\mathbb{R}^3)$ 勾配に対して、coarea公式に依存しない完全にフーリエ解析的な方法で $\dim_H(\mu) \geq 2$ の推定が得られた。