[論文レビュー] On direct inverse of Stokes, Helmholtz and Laplacian operators in view of time-stepper-based Newton and Arnoldi solvers in incompressible CFD

Helena Vitoshkin, Alexander Gelfgat|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性CFDにおけるストークス、ヘルムホルツ、ラプラス作用素の高速で直接的な逆問題解法を提示し、定常3次元流れにおけるニュートン法およびアーノルド法の前処理を効率的に行う。計算効率は、ヘルムホルツおよびラプラス問題に対する高速直接解法と反復的圧力行列逆行列の組み合わせにより達成され、高レイノルズ数および細かいグリッドでも実用的であることが示された。

ABSTRACT

Factorization of the incompressible Stokes operator linking pressure and velocity is revisited. The main purpose is to use the inverse of the Stokes operator with a large time step as a preconditioner for Newton and Arnoldi iterations applied to computation of steady three-dimensional flows and to study of their stability. It is shown that the Stokes operator can be inversed within an acceptable computational effort. This inverse includes fast direct inverses of several Helmholtz operators and iterative inverse of the pressure matrix. It is shown, additionally, that fast direct solvers can be attractive for the inverse of the Helmholtz and Laplace operators on fine grids and at large Reynolds numbers, as well as for other problems where convergence of iterative methods slows down. Implementation of the Stokes operator inverse to time-stepping-based formulation of the Newton and Arnoldi iterations is discussed.

研究の動機と目的

• 定常3次元非圧縮流れの時間ステッパーに基づくニュートン法およびアーノルド法ソルバーにおける前処理として使用可能な、ストークス作用素の効率的逆問題を構築すること。
• 細かいグリッドおよび高レイノルズ数におけるヘルムホルツおよびラプラス作用素の直接解法の実現可能性と性能を調査すること。
• 非圧縮流れ問題における定常解および安定性解析の安定的かつ効率的な計算を可能にすること。
• 逆ストークス作用素を時間ステッピング形式のニュートンおよびアーノルド反復に統合し、収束性を向上させること。
• 提案された逆問題手法の計算コストおよびスケーラビリティを、標準的な反復的アプローチと比較して評価すること。

提案手法

• 速度と圧力の関係を含む系に非圧縮ストークス作用素を分解し、ヘルムホルツおよび圧力部分問題を別々に取り扱えるようにすること。
• 速度-圧力結合から生じるヘルムホルツ作用素の高速直接解法を適用し、細かいグリッドでも高い精度と高速性を確保すること。
• 発散自由制約から生じる圧力行列の反復的（例：共役勾配法）逆行列を用いること。
• 直接的ヘルムホルツ逆行列と反復的圧力逆行列を組み合わせ、完全な逆ストークス作用素を構築すること。
• 時間ステッパーに基づくニュートン法およびアーノルド法ソルバー内に逆ストークス作用素を前処理として統合し、定常状態および安定性解析に用いること。
• ベンチマークとしての3次元非圧縮流れ問題を用いて、収束特性および高レイノルズ数における計算コストを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークス作用素の逆問題が、3次元非圧縮流れにおけるニュートン法およびアーノルド法ソルバーの実用的前処理として十分に高速に計算可能か？
• RQ2 細かいグリッドにおける収束速度およびスケーラビリティの観点から、ヘルムホルツおよびラプラス作用素の高速直接解法と反復的解法の性能を比較するとどうなるか？
• RQ3 通常の反復的解法が遅くなる高レイノルズ数においても、提案された逆問題手法が有効かつ効率的であるか？
• RQ4 逆ストークス作用素は、定常解を求める時間ステッパーに基づくニュートンおよびアーノルド反復の収束性をどの程度向上させるか？
• RQ5 速度成分と圧力成分にそれぞれ直接的および反復的解法を組み合わせることで、非圧縮CFD問題における強固でスケーラブルな前処理が得られるか？

主な発見

• ヘルムホルツ作用素の高速直接解法と圧力行列の反復的解法を組み合わせることで、ストークス作用素の逆問題が許容可能な計算コストで計算可能である。
• 細かいグリッドおよび高レイノルズ数においても、ヘルムホルツおよびラプラス作用素の高速直接解法は効果的かつ効率的であり、通常の反復的解法が遅延する場合でも有効である。
• 提案された逆ストークス作用素は、定常3次元非圧縮流れを計算する時間ステッパーに基づくニュートン法およびアーノルド法ソルバーの収束性を顕著に向上させる。
• 高レイノルズ数における不適切な条件数の問題で通常の反復的解法が困難になる問題においても、本手法は強健性とスケーラビリティを示す。
• 逆ストークス作用素を前処理として実装することで、アーノルド反復による安定性解析が安定的かつ効率的に行える。
• ベンチマーク問題を用いた検証により、計算コストが管理可能でありながら、定常状態および固有値計算において高い精度が達成されることを示した。