[論文レビュー] On Directed Lattice Paths With Additional Vertical Steps

Maciej Dziemiańczuk|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整数 k に対して垂直ステップ (0,-1) と非垂直ステップ (1,k) を含む有向ラティスパスに対する組み合わせ的枠組みを導入する。主なパス（垂直ステップを含む）と重み付き非垂直パスの間の双対写像を確立し、主なパスの数が対応する重み付きパスの重みの和に等しいことを示す。主な結果として、(0,0) から (n,-1) への主なパスにおける垂直ステップの期待値は、(0,0) から (n,0) への自由パスの数に等しくなる。これはパスの列挙と母関数、および Dyck、Motzkin、Delannoy パスなどの既知の組合せ的数列を結びつける。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of lattice paths that consist of vertical steps $(0,-1)$ and non-vertical steps $(1,k)$ for some $k\in \mathbb Z$. Two special families of primary and free lattice paths with vertical steps are considered. It is shown that for any family of primary paths there are equinumerous families of proper weighted lattice paths that consist of only non-vertical steps. The relation between primary and free paths is established and some combinatorial and statistical properties are obtained. It is shown that the expected number of vertical steps in a primary path running from $(0,0)$ to $(n,-1)$ is equal to the number of free paths running from $(0,0)$ to $(n,0)$. Enumerative results with generating functions are given. Finally, a few examples of families of paths with vertical steps are presented and related to Łukasiewicz, Motzkin, Dyck and Delannoy paths.

研究の動機と目的

• 垂直ステップ (0,-1) と整数 k に対して非垂直ステップ (1,k) を含むラティスパスを研究すること。
• 主なパス（垂直ステップを含む）と重み付き非垂直パスの間の双対写像を確立すること。
• パスの列挙のための母関数と閉形式表現を導出すること。
• Dyck、Motzkin、Delannoy パスなどの古典的組合せ的対象とパスの族を関連付けること。
• 主なパスにおける垂直ステップの期待数を計算し、自由パスの数と関連付けること。

提案手法

• 自由パス（F_S(m,n)）と主なパス（P_S(m,n)）という2つのパス族を定義する。両者とも (0,0) から (n,-m) へのパスであり、主なパスは x 軸上またはそれ above に制限される。
• 非垂直ステップに重み関数 w を構成し、|P_V(m,n)| = ∑_{w-重み付きパス ∈ P_L(m,n)} を満たすようにする。ここで L は変換されたステップ集合である。
• 主な V-パスと w-重み付き主な L-パスの間の双対写像を用いて、同数性を証明する。
• 核法と母関数技法を用いて、パスの数の閉形式表現を導出する。
• 座標変換 (i,j) ↦ (i−j,i) を用いてラティスパスを変換し、Delannoy パスをステップ V, U₁, U₀ を持つパスと関連付ける。
• 記号的組合せ論と係数抽出を用いて、パス族の再帰的関係と母関数の関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 垂直ステップを含むラティスパスは、どのように重み付き非垂直ステップを用いて双対的に符号化できるか？
• RQ2 主なパスにおける垂直ステップの数と自由パスの数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 垂直ステップを含むパス族の母関数と含まないものとの関係は何か？
• RQ4 Dyck、Motzkin、Delannoy パスなどの古典的パスは、この枠組みの中でどの程度統一的に扱えるか？
• RQ5 (0,0) から (n,-1) への主なパスにおける垂直ステップの期待数は何か？また、自由パスの数とどのように関連するか？

主な発見

• 主なパス (0,0) から (n,-1) における垂直ステップの期待値は、(0,0) から (n,0) への自由パスの数に等しく、E[|V|] = |F_V(0,n)| が成り立つ。
• 任意のステップ集合 V ⊆ {V} ∪ Ω_N に対して、U_N と V を含む主なパス族について、L = (V ∖ {V}) ∪ {D₁, U₀, ..., U_N} 上の対応する重み付きパス族が存在し、|P_V(m,n)| = ∑_{π∈P_L(m,n)} w(π) が成り立つ。
• ステップ集合 E = {V, U₁, U₀} に対する主なパス |P_E(1,n)| は、大きなシュレーダー数 S(n) に等しく、|P_E(1,n)| = (D(n,n+1) - D(n,n))/n で与えられる。
• (0,0) から (n,k) へのデラノワパスの数は D(n,k) = ∑_{j=0}^k binom(n,j) binom(n+k-j,n) で与えられ、D(n,n) は中央デラノワ数である。
• ステップ集合 D = {V, U₁, U₀} を持つ主なパスの母関数は P_1(x) = (1 - √(1 - 4x - 4x²))/(2x) を満たし、OEIS A025227 と一致する。
• 自由パス |F_E(1,n)| は ∑_{j=0}^n ∑_{k=0}^{⌊(Nj+1)/(N+1)⌋} (-1)^{n-j} / j * binom(j,k) * binom((N+1)(j-k), j-1) で与えられ、N=1 の場合に OEIS A179191 に対応する。