[論文レビュー] On discontinuous Galerkin discretizations of second-order derivatives

Ammar Hakim, G. W. Hammett+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2階微分の不連続ガラーキン（DG）離散化、特にローカルDG（LDG）およびリカバリDG（RDG）スキームを分析する。LDGはアップウィンド選択に起因する非対称性により、$L^2$ノルムにおいて収束しない勾配を生じるが、時間依存拡散問題では誤差が急速に減少し、解の収束が保たれる。RDGは対称的で高次の収束近似を提供し、誤差が小さくなる。

ABSTRACT

Some properties of a Local discontinuous Galerkin (LDG) algorithm are demonstrated for the problem of evaluting a second derivative $g = f_{xx}$ for a given $f$. (This is a somewhat unusual problem, but it is useful for understanding the initial transient response of an algorithm for diffusion equations.) LDG uses an auxiliary variable to break this up into two first order equations and then applies techniques by analogy to DG algorithms for advection algorithms. This introduces an asymmetry into the solution that depends on the choice of upwind directions for these two first order equations. When using piecewise linear basis functions, this LDG solution $g_h$ is shown not to converge in an $L_2$ norm because the slopes in each cell diverge. However, when LDG is used in a time-dependent diffusion problem, this error in the second derivative term is transient and rapidly decays away, so that the overall error is bounded. I.e., the LDG approximation $f_h(x,t)$ for a diffusion equation $\partial f / \partial t = f_{xx}$ converges to the proper solution (as has been shown before), even though the initial rate of change $\partial f_h / \partial t$ does not converge. We also show results from the Recovery discontinuous Galerkin (RDG) approach, which gives symmetric solutions that can have higher rates of convergence for a stencil that couples the same number of cells.

研究の動機と目的

• 2階微分の計算における不連続ガラーキン法の収束特性を、拡散および楕円型問題の文脈で分析すること。
• アップウィンド選択に起因するローカルDG（LDG）スキームの非対称性が、2階微分近似の精度に与える影響を調査すること。
• LDGと、セル界面を越えて連続的な勾配を再構築することで対称性と収束性を向上させるリカバリDG（RDG）手法を比較すること。
• 非収束する2階微分近似が時間依存拡散およびハイパードイフュージョン問題の解に与える影響を評価すること。
• 高次微分を含む問題、たとえば$f_{xxxx}$におけるこれらのスキームの性能を評価し、プラズマ物理学およびスモールグリッドモデリングへの適性を検討すること。

提案手法

• 2階微分作用素の弱形式を導出するために、区分的線形基底関数とルジャンドル多項式を試験関数として用いる。
• LDG法を適用する際、補助変数$q = f_x$および$g = q_x$を導入し、2階偏微分方程式を1階方程式系に再定式化する。
• 安定性を確保するためにアップウィンド偏りの数値フラックスを導入し、アップウィンド方向の選択に依存する非対称性を生じさせる。
• RDGアプローチでは、最小二乗フィッティングを用いてセル界面を越えて連続的な解の表現を再構築し、勾配を計算する。
• 不連続な2階微分作用素の固有モードを解析し、LDGにおける非収束を引き起こす不自然な高周波数モードを同定する。
• 拡散方程式$\partial f/\partial t = f_{xx}$の時間依存シミュレーションを実施し、一時的誤差のダイナミクスおよび$f_h(x,t)$の収束を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ区分的線形基底関数を用いたLDG離散化において、$f_{xx}$の$ L^2 $ノルムでの収束が失敗するのか、時間依存問題では解が収束するにもかかわらず？
• RQ2 LDGにおけるアップウィンド方向の選択が、2階微分近似の対称性および収束特性に与える影響は何か？
• RQ3 リカバリDG（RDG）手法は、2階微分計算においてLDGよりも高い収束率とより優れた安定性を達成できるか？
• RQ4 非収束する2階微分近似が、時間依存拡散およびハイパードイフュージョン方程式の解に与える影響は何か？
• RQ5 離散$\partial^2/\partial x^2$作用素の不自然な固有モードが、シュレーディンガー方程式のような問題における長期的挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 区分的線形基底関数を用いる場合、LDG法は$g_h$という2階微分近似が$ L^2 $ノルムで収束しない。これは、細胞内の傾きが発散するためであり、一方で細胞平均は収束する。
• LDGにおける非収束誤差は一時的であり、時間依存拡散問題では急速に減少し、$f_h(x,t)$が真の解に収束することを可能にする。
• リカバリDG（RDG）法は、2階微分および時間依存拡散問題の両方において、対称的で高次の収束近似を提供し、LDGに比べて誤差が小さい。
• シュレーディンガー方程式のテストケースでは、2階微分誤差はオーダー1のままであるが、不自然なモードのキャンセルにより、エネルギーなどの観測量の収束は妨げられない。
• ハイパードイフュージョン作用素$f_{xxxx}$においては、RDGは3セルステンシルで高い精度を達成できるが、LDGは逐次適用の場合5セルステンシルを必要とする。
• LDGにおける主な誤差は、$k$次の調和に関連する高周波数固有モードに起因し、これが誤差の一時的性質を説明している。