[論文レビュー] On discontinuous group actions on non-Riemannian homogeneous spaces

Toshiyuki Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特に擬リーマン球面空間を含む非リーマン型同次空間上での離散部分群の正しく不連続な作用を理解するための群論的枠組みを構築する。このような作用の存在に関する基準を確立し、局所的剛性定理を証明する。その結果、連続的な変形が存在するのは、基底となるリー群が $\mathrm{SO}(n,1)$ または $\mathrm{SU}(n,1)$ に局所的に同型である場合に限ることを示し、リーマン幾何学からの古典的結果を非リーマン幾何学へ一般化する。

ABSTRACT

This article gives an up-to-date account of the theory of discrete group actions on non-Riemannian homogeneous spaces. As an introduction of the motifs of this article, we begin by reviewing the current knowledge of possible global forms of pseudo-Riemannian manifolds with constant curvatures, and discuss what kind of problems we propose to pursue. For pseudo-Riemannian manifolds, isometric actions of discrete groups are not always properly discontinuous. The fundamental problem is to understand when discrete subgroups of Lie groups $G$ act properly discontinuously on homogeneous spaces $G/H$ for non-compact $H$. For this, we introduce the concepts from a group-theoretic perspective, including the `discontinuous dual' of $G/H$ that recovers $H$ in a sense. We then summarize recent results giving criteria for the existence of properly discontinuous subgroups, and the known results and conjectures on the existence of cocompact ones. The final section discusses the deformation theory and in particular rigidity results for cocompact properly discontinuous groups for pseudo-Riemannian symmetric spaces.

研究の動機と目的

• リー群 $G$ の離散部分群が非コンパクトな同次空間 $G/H$ 上で正しく不連続に作用する条件を理解すること。
• 従来リーマン球面空間に限られていた不連続群の理論を、非リーマン的状況へ拡張すること。
• 擬リーマン球面空間上でのコンパクトな正しく不連続な作用に対する変形理論を構築すること。
• コhomological基準と群論的双対性を用いて、このような作用の存在と剛性を特徴づけること。

提案手法

• 同次空間 $G/H$ の「不連続双対」の概念を導入し、群論的双対性によって $H$ を回復する。
• リー代数レベルでの作用の非退化性を含む、正しく不連続な作用の基準（定理14）を適用する。
• リー代数のコhomologyの消滅定理を用いて、離散部分群の連続的変形の存在を分析する。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \approx \mathrm{SO}(2,1)$ および $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \approx \mathrm{SO}(3,1)$ のような古典的リー群の局所同型を用いて結果を一般化する。
• 変形空間 $\mathcal{T}(\Gamma, G, H)$ を表現空間 $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)/G$ の商として分析し、孤立点による剛性を同定する。
• 局所的剛性が失敗するのは、$G'$ が $\mathrm{SO}(n,1)$ または $\mathrm{SU}(n,1)$ に局所的に同型である場合に限ることを証明し、古典的結果を非リーマン的設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな $H$ に対して、離散部分群 $\Gamma \subset G$ が非リーマン型同次空間 $G/H$ 上で正しく不連続に作用する条件は何か？
• RQ2 このような正しく不連続な作用が連続的変形を許容するのはいつか？ その剛性は何かによって決定されるか？
• RQ3 変形空間 $\mathcal{T}(\Gamma, G, H)$ は、多様体上の複素構造やローレンツ構造といった幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ4 『不連続双対』は、$G$ の作用から部分群 $H$ を再構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 非リーマン型球面空間の文脈において、Calabi–Markus現象は、どのような場合に失敗し、あるいは継続するか？

主な発見

• $G' = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の場合、不連続群の連続的変形が存在し、この場合に局所的剛性が成立しないことが示された。
• リーマン球面空間における局所的剛性定理は、$G'$ が $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ に局所的に同型である場合にのみ成立し、古典的結果が新しい設定で確認された。
• 非リーマン的状況 $G/H = G' \times G'/\mathrm{diag}(G')$ において、連続的変形が存在するのは、$G'$ が $\mathrm{SO}(n,1)$ または $\mathrm{SU}(n,1)$ に局所的に同型である場合に限る。
• $G/H = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2)$ の場合、変形空間 $\mathcal{T}(\Gamma, G, H)$ は、$g \geq 2$ の種数のリーマン面のテイヒミュラー空間に一致し、不連続群作用と複素幾何学を結びつける。
• $G/H = \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})/\mathrm{diag}(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}))$ の場合、変形空間は3次元複素多様体上の複素構造に対応する。
• 本稿はゴールドマンの予想を肯定的に確認した：小規模な変形が、半単純リー群における離散部分群の不連続性を保つ。この結論は定理14の基準に依拠している。