[論文レビュー] On Distance-$d$ Independent Set and other problems in graphs with few minimal separators

Pedro Montealegre, Ioan Todinca|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、FominとVillangerの最小分離集合が少ないグラフにおける多項式時間アルゴリズムを拡張し、任意の偶数 $d$ に対して、距離-$d$ 独立集合問題が多項式回数の最小分離集合をもつグラフ（$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$）上で多項式時間で解けることを示している。$d-1$ が奇数のとき、グラフの $(d-1)$ 乗は元のグラフより多くの最小分離集合を持たないことを証明し、偶数 $d$ に対して最小分離集合の動的計画法が可能になる。この結果は、弦的グラフや円弧グラフなどの部分クラスにおいて、連結頂点被覆問題および連結フィードバック頂点集合問題へも拡張可能である。

ABSTRACT

Fomin and Villanger (STACS 2010) proved that Maximum Independent Set, Feedback Vertex Set, and more generally the problem of finding a maximum induced subgraph of treewith at most a constant $t$, can be solved in polynomial time on graph classes with polynomially many minimal separators. We extend these results in two directions. Let $\Gpoly$ be the class of graphs with at most $\poly(n)$ minimal separators, for some polynomial $\poly$. We show that the odd powers of a graph $G$ have at most as many minimal separators as $G$. Consequently, extsc{Distance-$d$ Independent Set}, which consists in finding maximum set of vertices at pairwise distance at least $d$, is polynomial on $\Gpoly$, for any even $d$. The problem is NP-hard on chordal graphs for any odd $d \geq 3$. We also provide polynomial algorithms for Connected Vertex Cover and Connected Feedback Vertex Set on subclasses of $\Gpoly$ including chordal and circular-arc graphs, and we discuss variants of independent domination problems.

研究の動機と目的

• 木幅に依存する誘導部分グラフを超えて、距離および連結性制約を含むグラフ問題の多項式時間解法を拡張すること。
• 特に弦的および弱弦的グラフにおいて、$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ における距離-$d$ 独立集合問題の計算量を解明すること。
• 連結頂点被覆問題および連結フィードバック頂点集合問題が、弦的および円弧グラフなどの $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ の部分クラスにおいて多項式時間で解けるかどうかを調査すること。
• 動的計画法フレームワークにおける最小分離集合、グラフの冪、およびCMSOで表現可能な性質の相互作用を調査すること。

提案手法

• 奇数 $d-1$ のとき、グラフ $G$ の $(d-1)$ 乗は $G$ よりも多くの最小分離集合を持たないという事実を活用し、距離-$d$ 独立集合問題を $G^{d-1}$ 上の問題に還元する。
• FominとVillanger（2010年）の手法に従い、最小分離集合および可能性最大クリークを用いた動的計画法を用い、$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ において偶数 $d$ の距離-$d$ 独立集合問題を解く。
• 連結頂点被覆問題を $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ 内の二部グラフにおける赤-青被覆集合問題に還元し、赤-青被覆集合問題が多項式時間で解ける場合に、連結頂点被覆問題も多項式時間で解けることを示す。
• 既知の木の拡張に関する結果を用い、弦的二部グラフおよび円形二部グラフにおいて赤-青被覆集合問題が多項式時間で解けることを確立する。
• Fominたちは（2013年）のフレームワークを、CMSO論理と誘導部分グラフの条件を用いて、連結性および被覆制約を含むように拡張する。
• 連結頂点被覆問題から赤-青被覆集合問題への還元において、最小分離集合の数が高々 $ olimits(n)$ 以内に増加することを証明し、$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ における多項式時間解法の保持を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ において偶数 $d$ の距離-$d$ 独立集合問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 弦的および円弧グラフ（$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ の部分クラス）において、連結頂点被覆問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 特に奇数冪において、グラフの冪の下で最小分離集合の数は有界のまま保たれるか？
• RQ4 弦的二部グラフおよび円形二部グラフなどの $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ 内の二部グラフにおいて、赤-青被覆集合問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 FominとVillangerの動的計画法フレームワークは、誘導部分グラフにおける連結性および被覆制約を扱えるように拡張可能か？

主な発見

• 偶数 $d$ に対して、距離-$d$ 独立集合問題は $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ で多項式時間で解ける。これは、奇数冪において最小分離集合の数が保存されることに起因する。
• 任意の奇数 $d \geq 3$ に対して、最小分離集合の多項式束縛が $n$ よりも漸近的に大きい場合、問題は $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ で NP 困難である。
• 弦的および円弧グラフにおいて、連結頂点被覆問題は多項式時間で解ける。これは、これらのグラフが $ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ の部分クラスであり、それらの二部グラフ版において赤-青被覆集合問題が多項式時間で解けることによる。
• Kanjたちは弦的二部グラフにおいて赤-青被覆集合問題が多項式時間で解けることを示している。また、円形二部グラフにおいては、平面多重グラフ上の木の拡張問題への還元により同様の結果が得られる。
• 連結頂点被覆問題から赤-青被覆集合問題への還元において、最小分離集合の数は高々 $ olimits(n)$ 以内に増加し、$ olimits_{ olimits_{ ext{poly}}}$ における多項式時間解法の保持が保証される。
• このフレームワークは、誘導部分グラフの木幅が有界で、追加のCMSO制約（連結性や被覆性など）を含む問題へも拡張可能である。