[論文レビュー] On distance, geodesic and arc transitivity of graphs

Alice Devillers, Wei Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限グラフにおける対称性の階層—特に s-距離推移性、s-測地線推移性、s-弧推移性—を調査し、s ∈ {1,2,3} の場合に、任意に大きな直径をもつが (s+1)-弧推移でない無限に多くの測地線推移グラフが存在することを証明している。さらに、2-測地線推移で2-弧推移でない素数次数のグラフを完全に分類し、p ≡ 1 (mod 4) であるときかつそのときに限り存在することを示し、それらは自動同型群が PSL(2,p) × Z₂ である K_{p+1} の非双対的二重被覆として一意に実現可能である。

ABSTRACT

We compare three transitivity properties of finite graphs, namely, for a positive integer $s$, $s$-distance transitivity, $s$-geodesic transitivity and $s$-arc transitivity. It is known that if a finite graph is $s$-arc transitive but not $(s+1)$-arc transitive then $s\leq 7$ and $s eq 6$. We show that there are infinitely many geodesic transitive graphs with this property for each of these values of $s$, and that these graphs can have arbitrarily large diameter if and only if $1\leq s\leq 3$. Moreover, for a prime $p$ we prove that there exists a graph of valency $p$ that is 2-geodesic transitive but not 2-arc transitive if and only if $p\equiv 1\pmod 4$, and for each such prime there is a unique graph with this property: it is an antipodal double cover of the complete graph $K_{p+1}$ and is geodesic transitive with automorphism group $PSL(2,p) imes Z_2$.

研究の動機と目的

• 有限グラフにおける s-距離推移性、s-測地線推移性、s-弧推移性の関係を明確化すること。
• 任意に大きな直径をもつが (s+1)-弧推移でない測地線推移グラフが存在する s の値を特定すること。
• 2-測地線推移で2-弧推移でない素数次数のすべてのグラフを分類すること。
• 直径 2 の距離推移グラフが測地線推移でない場合の条件を特定すること。
• 類似の分類結果が非素数次数に拡張可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 著者たちは、ジョンソン・グラフ、ハミング・グラフ、オッズ・グラフ、古典的一般化多角形といった既知の距離推移グラフの族を分析し、所望の弧推移性をもつ無限族の測地線推移グラフの存在を確立している。
• 特に、形式 Cos(G, H, HgH) のコセット・グラフを用いた群論的構成法を用い、特定の対称性と次数の性質をもつグラフを構築・分析している。
• 素数次数 p ≡ 1 (mod 4) の場合、PSL(2,p) と中心的対合を用いて、K_{p+1} の非双対的二重被覆として一意な 2-測地線推移グラフを構成している。
• PGL(2,p) 内の共転作用により、部分群や元の選択が同型なグラフをもたらすことを示すことによって、構成の同型不変性を証明している。
• 頂点安定化部分群の軌道構造とその近傍および第二近傍への作用を分析することにより、2-測地線推移性を検証している。
• 既知の自動同型群と径路長に関する結果を用い、径路長が 3 で近傍が互いに交わらないことにより、構成されたグラフが 2-弧推移でないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの s の値に対して、(s+1)-弧推移でないが s-弧推移である無限に多くの測地線推移グラフが存在し、かつそれらが任意に大きな直径をもてるか？
• RQ2 素数次数の 2-測地線推移グラフが 2-弧推移でないための必要十分条件は何か？
• RQ3 素数次数 p の 2-測地線推移グラフで 2-弧推移でないものが一意に存在するか？ その自動同型群は何か？
• RQ4 直径 2 の距離推移グラフの中で測地線推移でないものはどれか？ その最小の例は何か？
• RQ5 素数次数の 2-測地線推移グラフの分類結果を非素数次数に拡張可能か？

主な発見

• 各 s ∈ {1,2,3,4,5,7} に対して、(s+1)-弧推移でないが s-弧推移である無限に多くの測地線推移グラフが存在する。
• 測地線推移で (s+1)-弧推移でないが s-弧推移であるグラフが任意に大きな直径をもつのは、s ≤ 3 のときに限り成り立つ。
• 素数次数 p に対して、2-測地線推移で 2-弧推移でないグラフが存在するのは、p ≡ 1 (mod 4) のときに限り成り立つ。
• そのようなグラフが存在するとき、それは K_{p+1} の非双対的二重被覆として一意に実現可能であり、自動同型群は PSL(2,p) × Z₂ である。
• パレイ・グラフ P(q) はすべての q ≡ 1 (mod 4) に対して距離推移的であるが、q = 5 または 9 のときのみ測地線推移的であり、q > 9 のときには、距離推移的だが測地線推移的でない直径 2 のグラフの最初の既知の族である。
• 分類において得られたグラフは 2-測地線推移的だが 2-弧推移的でなく、径路長は 3、直径は 3 であり、サイズ 2 のブロックの唯一の非推移的系をもつ。