[論文レビュー] On distinct consecutive $r$-differences

Junxian Li, George Shakan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ A $ が相異なる連続する $ r $-差分を持つとき、和集合 $ A+B $ のサイズに対する鋭い下界を確立し、$ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ が成り立つことを示している。これは $ r=1 $ の場合の Solymosi の結果を一般化する。この下界が定数を除いて最適であることは、de Bruijn 数列を用いて示され、さらに本稿では $ \{\{n\alpha\}\} $ が高々 $ 2r+1 $ 個の相異なる連続する $ r $-差分を持つことを証明し、Steinhaus の三差分定理を一般化している。

ABSTRACT

Suppose $A\subset \mathbb{R}$ of size $k$ has distinct consecutive $r$--differences, that is for $1 \leq i \leq k -r$, the $r$--tuples $$(a_{i+1} - a_i , \ldots , a_{i+r} - a_{i + r -1})$$ are distinct. Then for any finite $B \subset \mathbb{R}$, one has $$|A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)}.$$ Utilizing de Bruijn sequences, we show this inequality is sharp up to the constant. Moreover, for the sequence $\{nα\}$, a sharp upper bound for the size of the distinct consecutive $r$--differences is obtained, which generalizes Steinhaus' three gap theorem. A dual problem on the consecutive $r$--differences of the returning times for some $ϕ\in \mathbb{R}$ defined by $\{T : \{Tθ\}

研究の動機と目的

• Solymosi の和集合推定 $ |A+B| \gg |A||B|^{1/2} $ を $ r \geq 1 $ に対して、相異なる連続する $ r $-差分を持つ集合へ一般化すること。
• de Bruijn 数列を用いて、導出された下界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ が定数を除いて最適であることを示すこと。
• $ \alpha $ が無理数であるとき、集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ に存在する相異なる連続する $ r $-差分の最大数を特定し、Steinhaus の三差分定理を一般化すること。
• Beatty 数列における戻り時間への分析を拡張し、$ R_\theta(\phi) $ が高々 $ 2r+1 $ 個の相異なる連続する $ r $-差分を持つことを証明し、Slater の結果を一般化すること。

提案手法

• 相異なる連続する $ r $-差分を、$ 1 \leq i \leq k-r $ に対して、連続する差分の $ r $-組 $ (a_{i+1}-a_i, \dots, a_{i+r}-a_{i+r-1}) $ が相異なるものとして定義する。
• de Bruijn 数列の構造に基づく組合せ的議論を用いて、定数を除いて下界に達する極値集合を構成する。
• 連分数理論と区間分割を用いて、分数部分 $ \{n\alpha\} $ および $ \{s\theta\} $ の分布を分析する。
• $ r $ に関する帰納法を用い、区間 $ [0,\phi) $ の分割に基づいて、$ R_\theta(\phi) $ の相異なる連続する $ r $-差分の数が高々 $ 2r+1 $ 個であることを示す。
• 区間 $ [0,\phi) $ 内の区間と戻り時間における連続する $ r $-差分との間の一対一対応を活用し、すべての可能な $ r $-組を分類する。
• 実数および有限体の両方の設定において、和集合の下界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ が成り立つことを証明し、その定数は $ r $ のみに依存する絶対定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $ A $ が相異なる連続する $ r $-差分を持つとき、$ |A+B| $ の最良の下界は何か？
• RQ2 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ の下界は改善可能か、それとも定数を除いて最適か？
• RQ3 無理数 $ \alpha $ に対して、集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ に存在する相異なる連続する $ r $-差分は最大で何個か？
• RQ4 戻り時間集合 $ R_\theta(\phi) $ に存在する相異なる連続する $ r $-差分の最大数は何か？
• RQ5 $ \{\{n\alpha\}\} $ と $ R_\theta(\phi) $ の構造は、$ r $-差分の観点からどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の有限集合 $ A,B \subset \mathbb{R} $ に対して、$ A $ が相異なる連続する $ r $-差分を持つとき、和集合のサイズは $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ を満たす。ここで、定数は $ r $ のみに依存する絶対定数である。
• de Bruijn 数列を用いた構成により、この下界が定数を除いて最適であることが示された。
• $ S_\alpha(N) = \{\{n\alpha\} \}_{n=1}^N $ に対して、相異なる連続する $ r $-差分の数は高々 $ 2r+1 $ 個である。これは Steinhaus の三差分定理を一般化する。
• $ R_\theta(\phi) = \{ T \in \mathbb{N}^+ : \{T\theta\} < \phi \} $ の戻り時間集合に対しても、相異なる連続する $ r $-差分の数は高々 $ 2r+1 $ 個である。これは $ r=1 $ の場合の Slater の結果を一般化する。
• $ \mathbb{F}_p $ に対しても、下界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ は同様の漸近的挙動を示し、$ A+B \neq \mathbb{F}_p $ のとき成り立つ。
• 本稿では、$ |A+A| \gg_r |A|^{1+\theta_r/(r+1)} $ の指数における $ \theta_r \geq 1 $ を示し、$ \theta_r \leq 2 $ を示す構成を与え、指数が定数を除いてタイトであることを示している。