[論文レビュー] On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs

Bilal Ahmad Rather|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Graph theory and applications参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

この博士論文は、ラプラシアン、正規化ラプラシアン、符号なしラプラシアン、および距離符号なしラプラシアン行列を含む、さまざまなグラフ行列におけるラプラシアン固有値の分布を調査する。本論文は、k個の最大のラプラシアン固有値の和に対する上界を確立し、より広いグラフクラスにおいてブローウェルの予想を証明し、直径4の木および非端点頂点が少ない木においてラプラシアンエネルギー予想を検証し、特に特定のα条件の下で星形グラフが一般化距離エネルギーを最小化することを示す、パワー・グラフおよび一般化距離行列の正確な固有値スペクトルとエネルギーの上限を導出する。

ABSTRACT

The work in this thesis concerns the investigation of eigenvalues of the Laplacian matrix, normalized Laplacian matrix, signless Laplacian matrix and distance signless Laplacian matrix of graphs. In Chapter 1, we present a brief introduction of spectral graph theory with some definitions. Chapter $2$ deals with the sum of $ k $ largest Laplacian eigenvalues $ S_{k}(G) $ of graph $ G $ and Brouwer's conjecture. We obtain the upper bounds for $ S_{k}(G) $ for some classes of graphs and use them to verify Brouwer's conjecture for these classes of graphs. Also, we prove Brouwer's conjecture for more general classes of graphs. In Chapter $3$, we investigate the Laplacian eigenvalues of graphs and the Laplacian energy conjecture for trees. We prove the Laplacian energy conjecture completely for trees of diameter $ 4 $. Further, we prove this conjecture for all trees having at most $ \frac{9n}{25}-2 $ non-pendent vertices. Also, we obtain the sufficient conditions for the truth of conjecture for trees of order $ n $. In Chapter $4$, we determine the normalized Laplacian spectrum of the joined union of regular graphs and obtain the spectrum of some well known graphs. As consequences of joined union, we obtain the normalized Laplacian spectrum of power graphs associated to finite cyclic groups. In Chapter $5$, we find the distance signless Laplacian spectrum of regular graphs and zero-divisor graphs associated to finite commutative ring. Also, we find the bounds for spectral radius of generalized distance matrix. Further, we obtain the generalized distance energy for bipartite graphs and trees. We prove that the complete bipartite graph has minimum generalized distance energy among all connected bipartite graphs. Besides, for $ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $, we show that the star graph has minimum generalized distance energy among all trees.

研究の動機と目的

• ラプラシアン、正規化ラプラシアン、符号なしラプラシアン、および距離符号なしラプラシアン行列を含む、さまざまなグラフ行列におけるラプラシアン固有値の分布を調査すること。
• ブローウェルの予想（k個の最大のラプラシアン固有値の和に関するもの）を、より広いクラスのグラフに対して検証すること。
• 直径4の木および非端点頂点が最大 (9n/25)−2 個以下の木に対して、ラプラシアンエネルギー予想を証明すること。
• 正則グラフの結合和の正規化ラプラシアンスペクトルを特定し、有限巡回群のパワー・グラフに応用すること。
• 二部グラフおよび木のスペクトル半径と一般化距離エネルギーの境界を導出し、エネルギーを最小化する極値グラフを同定すること。

提案手法

• グラフの構造的性質を用いて、k個の最大のラプラシアン固有値の和 S_k(G) に対する上界を導出する。
• スペクトル境界と固有値の入れ子性を適用し、特定のグラフ族に対してブローウェルの予想を検証する。
• 一般化距離行列 D_α(G) = αD(G) + (1−α)A(G) を用いる。ここで D(G) は距離行列、A(G) は隣接行列である。
• 一般化距離エネルギーの公式 E^D_α(T) = 2 max_{1≤j≤n} {∑_{i=1}^j ∂_i(T) − (2αjW(T))/n} を用いる。ここで W(T) はウィーナー指数を表す。
• 極値グラフ理論と固有値の主要化を用いて、一般化距離エネルギーを最小化するグラフを同定する。
• スペクトル分解と行列解析を用いて、結合和およびパワー・グラフの正規化ラプラシアンスペクトルを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブローウェルの予想（k個の最大のラプラシアン固有値の和に関するもの）は、どのグラフクラスで成り立ち、より一般的な族へ拡張可能か？
• RQ2 直径4のすべての木に対してラプラシアンエネルギー予想は成り立つか？また、非端点頂点が少ない木に対しては、どのような構造的条件がその妥当性を保証するか？
• RQ3 正則グラフの結合和の正確な正規化ラプラシアンスペクトルは何か？また、これは有限巡回群のパワー・グラフにどのように応用できるか？
• RQ4 一般化距離行列 D_α(G) のスペクトル半径の境界は何か？また、どのグラフが一般化距離エネルギーを最小化するか？
• RQ5 α のどの値に対して、n 順位のすべての木の中で星形グラフ S_n が一般化距離エネルギーを最小化するか？

主な発見

• 直径4のすべての木に対して、ラプラシアンエネルギー予想が完全に証明された。
• 非端点頂点が最大 (9n/25)−2 個以下のすべての木に対して、予想が成り立つ。
• α ∈ (0, 2n/(3n−2)) のとき、すべてのn 順位の木の中で星形グラフ S_n が一般化距離エネルギーを最小化する。
• α ∈ [2n/(3n−2), 1) のとき、S_n の一般化距離エネルギーは、n と α に依存する平方根項を含む閉形式で与えられる。
• 正則グラフの結合和の正規化ラプラシアンスペクトルが導出され、有限巡回群のパワー・グラフのスペクトルの特定に応用された。
• 完全二部グラフの一般化距離エネルギーが、すべての連結二部グラフの中で最小であることが示された。