[論文レビュー] On dlog image of K_2 of elliptic surface minus singular fibers

Masanori Asakura|ArXiv.org|Nov 8, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特異なファイバーを除いた楕円曲面の上での $K_2$ の dlog 画像のランクに対する計算可能な上界を確立する。特異ファイバーの補集合上で、$p$-進法と乗法的ファイバーにおけるフーリエ展開を用いて、$\mathbb{F}_p$-空間 $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ を定義し、その次元が dlog 画像のランクを上から抑える。主な結果として、特に $n$ が 30 と互いに素であるとき、$Y^2 = X^3 + X^2 + t^n$ という楕円曲面に対して、dlog 画像のランクが $n = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ の場合に 2 に等しく、Blochの高次チャウ群における非分解的部品の構成が可能になる。

ABSTRACT

Modular section added

研究の動機と目的

• 特異ファイバーの補集合をとった楕円曲面の上での、$K_2(U)$ の dlog 画像のランクに対する上界を計算すること。
• dlog 画像のランクを上から抑える計算可能な $p$-進不変量 $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ を構成すること。
• この上界を用いて、Blochの高次チャウ群 $\mathrm{CH}^2(X,1) \otimes \mathbb{Q}$ における非分解的元を構成すること、特に $K_1^{\mathrm{ind}}(X)^{(2)}$ の文脈において。
• Beilinsonの予想（$p$-進設定において dlog 画像がベッチコホモロジーに等しいこと）を検証するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 乗法的ファイバー近辺の 2-形式のフーリエ展開から導かれる $\mathbb{Z}_p$-部分加群 $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{Z}_p} \subset \Gamma(X_R, \Omega^2_{X_R/R}(\log D_R))$ を導入する。
• Katoの明示的相互法則を用いて、Tate曲線上の $K_2$ の dlog 画像を分析し、2-形式が画像に属するための基準を提供する。
• 問題を有限次元の $\mathbb{F}_p$-空間 $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ に還元し、実際の計算が可能であるようにする。
• $p$ に関するやや弱い条件の下で、不等式 $\mathrm{rank}_{\mathbb{Z}} \mathrm{dlog} \Gamma(U, \mathcal{K}_2) \leq \dim_{\mathbb{F}_p} \Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ を適用する。
• 局所化系列とネロン＝セベール群の計算を用いて、dlog 画像を $K_1^{\mathrm{ind}}(X)^{(2)}$ における非分解的 $K$-理論に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数閉体 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の楕円曲面において、特異ファイバーの補集合上での $K_2$ の dlog 画像の正確な上界は何か？
• RQ2 特に乗法的ファイバーにおけるフーリエ展開を通じて、$p$-進法を用いて dlog 画像を有効に計算できるか？
• RQ3 $p$-進空間 $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ は完全な dlog 画像を捉えているか？また、どのような条件下で等式が成立するか？
• RQ4 dlog 画像を用いて、Blochの高次チャウ群 $\mathrm{CH}^2(X,1) \otimes \mathbb{Q}$ における非自明な非分解的元を構成できるか？
• RQ5 Beilinsonの予想が示すように、$p$-進設定において dlog 画像はベッチコホモロジー $H^2_B(U, \mathbb{Q}(2))$ に等しいか？

主な発見

• 複素数体上での楕円曲面 $Y^2 = X^3 + X^2 + t^n$ において、$n$ が 30 と互いに素なとき、$n = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ の場合に $K_2(U)$ の dlog 画像のランクは 2 に等しく、明示的な生成元が与えられる。
• この場合、dlog 画像は $\mathrm{dlog}\left\{\frac{Y-X}{Y+X}, -\frac{t^n}{X^3}\right\}$ および $\mathrm{dlog}\left\{\frac{iY - (X+2/3)}{iY + (X+2/3)}, -\frac{t^n + 4/27}{(X+2/3)^3}\right\}$ によって生成される。
• 不等式 $\mathrm{rank}_{\mathbb{Z}} \mathrm{dlog} \Gamma(U, \mathcal{K}_2) \leq \dim_{\mathbb{F}_p} \Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ は有効かつ計算可能であり、モジュラーな場合に等号が成立する。
• $7 \leq n \leq 29$ で $n$ が素数であるとき、$\bigoplus_{i=0}^n K_1'(D_i)_{\mathbb{Q}}$ の $K_1^{\mathrm{ind}}(X)^{(2)}$ への像の次元は $n-1$ に等しく、非自明な非分解的 $K$-理論が示される。
• この構成は $p$-進フーリエ展開と $\Phi(X_R, D_R)_{\mathbb{F}_p}$ に依存しており、古典的ベッチコホモロジーだけでは得られない結果を可能にする。