[論文レビュー] On double cyclic codes over Z_4

Jian Gao, Minjia Shi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は ℤ₄ 上の二重巡回符号を調査し、R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) の R[x]-部分加群としての生成多項式と最小生成集合を特定する。符号とその双対符号の双対性関係を確立し、グレイ写像を用いて最適または準最適な非線形二値符号を構成できることを示し、ℤ₄-巡回符号の構成法を一般化された二重巡回構造へ拡張する。

ABSTRACT

Let $R=\mathbb{Z}_4$ be the integer ring mod $4$. A double cyclic code of length $(r,s)$ over $R$ is a set that can be partitioned into two parts that any cyclic shift of the coordinates of both parts leaves invariant the code. These codes can be viewed as $R[x]$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. In this paper, we determine the generator polynomials of this family of codes as $R[x]$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. Further, we also give the minimal generating sets of this family of codes as $R$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. Some optimal or suboptimal nonlinear binary codes are obtained from this family of codes. Finally, we determine the relationship of generators between the double cyclic code and its dual.

研究の動機と目的

• 二重巡回符号の代数的構造を、R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) の R[x]-部分加群として ℤ₄ 上に特徴付けること。
• これらの符号の生成多項式と最小生成集合を特定すること。
• ℤ₄ 上の二重巡回符号とその双対符号の間の双対性関係を確立すること。
• グレイ写像を用いて、この符号族から最適または準最適な非線形二値符号を構成できることを示すこと。

提案手法

• R = ℤ₄ とおくとき、二重巡回符号を R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) の R[x]-部分加群として表現する。
• 多項式の因数分解とヘンゼルの上昇を用いて、符号の生成多項式 F₁(x)、l(x)、F₂(x) を導出する。
• グレイ写像を適用して ℤ₄-符号を二値符号に変換し、その非線形性を評価する。
• 商環における逆多項式と剰余算術を用いて双対符号の生成多項式を導出する。
• 最大公約数と逆多項式の操作を用いて、符号とその双対符号の生成子の関係を確立する。
• 具体的な例を通じて結果を検証し、双対符号の生成子と符号サイズの計算を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ₄ 上の二重巡回符号は、R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) の R[x]-部分加群としてどのように代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 ℤ₄ 上の二重巡回符号の最小生成集合は何か？ また、生成多項式とどのように関係するか？
• RQ3 ℤ₄ 上の二重巡回符号とその双対符号の生成多項式の間の正確な関係は何か？
• RQ4 グレイ写像を用いて、ℤ₄ 上の二重巡回符号から最適または準最適な非線形二値符号を構成できるか？
• RQ5 生成多項式の次数と最大公約数は、双対符号のサイズと構造にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) の R[x]-部分加群としての ℤ₄ 上の二重巡回符号の生成多項式を特定し、完全な代数的特徴付けを提供する。
• これらの符号の最小生成集合を導出し、それらが ℤ₄ 上の特定の多項式の組み合わせで張られることを示す。
• 自由な二重巡回符号の双対符号もまた二重巡回符号であり、最大公約数と逆多項式の操作を用いて明示的に生成子が特定される。
• 符号が自由である場合、双対符号の生成多項式は F₁*(x) = (x^r−1)/gcd(F₁(x),l(x)) および F₂*(x) = (x^s−1)gcd(F₂(x),l(x))/(F₁(x)F₂(x)) で与えられる。
• 例として、|C| = 4⁴ である (3,9)-符号が双対符号のサイズ 4⁸ を生成することを示し、双対性構造を確認する。
• この構成法により、グレイ写像を経由して最適または準最適な非線形二値符号が得られ、既知の ℤ₄-巡回符号の結果が一般化される。