[論文レビュー] On Douglas general $(α,β)$-metrics

Xiaoming Wang, Benling Li|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の $(\alpha,\beta)$-計量がダグラス曲率をもつための条件を定める偏微分方程式系を導出し、それらがダグラス曲率をもつ一般の $(\alpha,\beta)$-計量を特徴づけている。このPDEを解くことで、完全な解が得られ、関数 $\phi(b^2,s)$ と $\beta$ の共変微分に関する条件を明示的に与えることにより、非リーマン的ダグラス計量の新たな構成が可能となる。主な貢献は、$\beta$ が $\alpha$ に関して閉形式または共形的であるという制限的仮定を課さずに、一般の $(\alpha,\beta)$-計量の広いクラスにおけるダグラス計量の包括的分類を達成したことにある。

ABSTRACT

Douglas metrics are metrics with vanishing Douglas curvature which is an important projective invariant in Finsler geometry. To find more Douglas metrics, in this paper we consider a class of Finsler metrics called general $(α,β)$-metrics, which are defined by a Riemannian metric $α=\sqrt{a_{ij}(x)y^iy^j}$ and a $1$-form $β=b_i(x)y^i$. We obtain the differential equations that characterizes these metrics with vanishing Douglas curvature. By solving the equivalent PDEs, the metrics in this class are totally determined. Then many new Douglas metrics are constructed.

研究の動機と目的

• 一般の $(\alpha,\beta)$-計量において $\beta$ が $\alpha$ に関して閉形式または共形的であるという制限的ケースを超えて、ダグラス計量の分類を拡張すること。
• $n \geq 3$ 次元における、ダグラス曲率をもつすべての非リーマン的一般 $(\alpha,\beta)$-計量を特徴づけること。
• このようなダグラス計量を完全に決定する微分方程式系を導出すること。
• 導出されたPDEを解き、関数 $\phi(b^2,s)$, $k(x)$, $c(b^2)$, $\mu(b^2)$, $\nu(b^2)$ を指定することにより、明示的なダグラス計量の新しい例を構成すること。

提案手法

• 一般の $(\alpha,\beta)$-計量 $F = \alpha \phi(b^2, s)$ がダグラス計量であるための必要十分条件を、そのダグラス曲率を分析することによって導出する。ここで $s = \beta/\alpha$ である。
• 2つの方程式からなる系を確立する：$\phi$ に関する2階偏微分方程式（式 1.3）と、関数 $k(x)$, $c(b^2)$, $\mu(b^2)$, $\nu(b^2)$ を含む共変微分 $b_{i|j}$ に関する条件（式 1.4）。
• 変数変換 $\zeta(b^2, s)$ を用いてPDE（1.3）を解き、$\phi$ を任意の滑らかな関数 $h(b^2)$ と特定の有理・三角・指数関数的表現を用いて表現する。
• スプレー係数の関係式 $G^i = \hat{G}^i + k\alpha \{[(1-c)s^2 + cb^2]\Theta + b^2\Xi\}y^i$ を用い、$F$ のスプレー係数を $\alpha$ のものと関連付ける。ここで $\hat{G}^i$ および $\Theta, \Xi$ は明示的に定義される。
• 関数 $c(b^2)$, $\mu(b^2)$, $\nu(b^2)$, $\Phi(\zeta)$ に特定の形式を選び、$\phi(b^2,s) = h(b^2)s + \text{複雑な有理・三角関数的表現}$ のような新しいダグラス計量の例を構成する。
• $\alpha$ が射影的に平坦（定曲率）である場合や、ユークリッド計量 $|y|$ に共形的である場合に、$b_{i|j}$ の特別な解を提供し、(1.4) を満たす具体的な $\beta$ と $k(x)$ の例を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $(\alpha,\beta)$-計量 $F = \alpha \phi(b^2, \beta/\alpha)$ が、$\beta$ が $\alpha$ に平行でない場合にダグラス計量であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 ダグラス曲率条件は、$\phi$, $b^2$, $s$, および共変微分 $b_{i|j}$ を含むPDEの系にどのように還元できるか？
• RQ3 式 (1.3) に現れる $\phi$ に関するPDEは、明示的に解けるか？ その解を用いて、新たな非リーマン的ダグラス計量を構成できるか？
• RQ4 共形性や閉形式性の仮定がない状況で、式 (1.4) を満たす $\beta$ と $k(x)$ の構造的形は何か？
• RQ5 関数 $c(b^2)$, $\mu(b^2)$, $\nu(b^2)$, $h(b^2)$ を特定の形に選ぶことにより、どのように明示的なダグラス計量の例を構成できるか？

主な発見

• 本稿では、ダグラス曲率をもつ非リーマン的一般 $(\alpha,\beta)$-計量の完全な特徴づけを、2つの方程式からなる系を用いて確立した。そのうち1つは $\phi$ に関する2階偏微分方程式（式 1.3）、もう1つは $b_{i|j}$ に関する条件（式 1.4）である。
• 変数変換 $\zeta(b^2, s)$ を導入することで、PDE（1.3）の一般解が構成され、$$\phi(b^2,s) = h(b^2)s + \frac{(1+b^2)(1+b^4-b^2s^2)+s^2(1-b^2)}{(1+b^4)^2}\sqrt{\frac{(1-b^2)e^{b^2}}{1+b^4-b^2s^2}}$$ が得られる。ここで $h(b^2)$ は任意の $C^\infty$ 関数である。
• $\alpha$ が射影的に平坦（定曲率）である場合、$\alpha = \frac{\sqrt{(1+\kappa|x|^2)|y|^2 - \kappa\langle x,y\rangle^2}}{1+\kappa|x|^2}$ とし、定数 $\delta_1, \delta_2$ とベクトル $a$ を含む特定の $\beta$ を選び、必要な $b_{i|j}$ 条件を満たす特別な解を構成した。
• $\alpha$ が $|y|$ に共形的である場合、2つの明示的例を提示した：1つ目は $\alpha = \frac{1}{2|x|}|y|$, $\beta = 2\varepsilon e^{-|x|^2}\langle x,y\rangle$、2つ目は $\alpha = \frac{1}{1+|x|^2}|y|$, $\beta = \frac{1+|x|^2}{1-|x|^2}\langle x,y\rangle$ であり、両者とも式 (1.4) の有効な解を与える。
• 解の構造により、$c(b^2)$, $\mu(b^2)$, $\nu(b^2)$, $h(b^2)$ を自由に選べるため、従来の知られていた例を超える広いクラスの新しいダグラス計量が構成可能であることが示された。
• 本研究の結果は、$\beta$ が閉形式または共形的であるという制限的仮定を排除することで、非リーマン的ダグラス計量を構成する包括的なフレームワークを提供しており、先行研究を一般化している。