[論文レビュー] On duality between quantum maps and quantum states

Karol Życzkowski, Ingemar Bengtsson|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Jamiołkowski同型写像を用いて、量子マップと量子状態の間に双対性を確立し、N次元量子系における正のマップの空間が、N×Nの複合系における密度行列に対応することを示している。サイズN²のユニタリ行列から導かれるユニスタジスティックマップを導入し、正のマップの分解可能性に関する構成的基準を提示し、量子ダイナミクスと量子状態幾何学を結びつけている。

ABSTRACT

We investigate the space of quantum operations, as well as the larger space of maps which are positive, but not completely positive. A constructive criterion for decomposability is presented. A certain class of unistochastic operations, determined by unitary matrices of extended dimensionality, is defined and analyzed. Using the concept of the dynamical matrix and the Jamiolkowski isomorphism we explore the relation between the set of quantum operations (dynamics) and the set of density matrices acting on an extended Hilbert space (kinematics). An analogous relation is established between the classical maps and an extended space of the discrete probability distributions.

研究の動機と目的

• 量子マップ（ダイナミクス）と量子状態（キネマティクス）の間の双対性をJamiołkowski同型写像を用いて確立すること。
• 特に分解可能性とエンタングルメント検出との関係を含め、正のマップの幾何学的性質を特徴づけること。
• サイズN²のユニタリ行列から導かれるユニスタジスティックマップを定義・分析すること。
• マップ-状態双対性を古典的確率的マップおよび単体上の確率分布へと拡張すること。
• 完全正則（CP）、完全共正則（co-CP）、および分解可能なマップ集合の境界からのマップの位置を定量化するためのツールを提供すること。

提案手法

• スーパーオペレーターのリシャッフルを用いた量子マップの動的行列表現を用い、マップを拡張されたヒルベルト空間上の密度行列に関連付ける。
• Jamiołkowski同型写像を適用して、N×Nの密度行列上の線形マップをN²×N²系上の状態へ写像する。
• リシャッフルの概念を導入し、行列のスミット係数がそのリシャッフル形の特異値に等しいことを示す。
• サイズN²のユニタリ行列によって誘導されるマップとしてユニスタジスティックマップを定義し、最大混合環境との結合と関連付ける。
• 任意の完全正則マップに対して、動的行列の固有値分解から標準的Kraus形を構成する。
• 古典的マップと確率単体上の確率過程の関係を、粗視化を用いて対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の量子マップの空間は、どのようにN²×N²系上の量子状態の空間に関連づけられるか？
• RQ2 正のマップ集合の幾何的構造は何か？ そしてJamiołkowski同型写像を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 正のマップが分解可能であるための条件は何か？ そして、それを構成的にテストする方法は何か？
• RQ4 サイズN²のユニタリ行列から定義されるユニスタジスティックマップは、物理的過程およびエンタングルメント検出とどのように関係するか？
• RQ5 量子マップと量子状態の双対性は、確率単体上の古典的確率的マップへどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• Jamiołkowski同型写像により、N×Nの密度行列上の線形マップとN²×N²系上の密度行列との間の一対一対応が確立され、ダイナミクスとキネマティクスの双対性が可能になる。
• 動的行列の構造とその転置の正定値性に基づく、正のマップの分解可能性に関する構成的基準が提示された。
• ユニスタジスティックマップは、サイズN²のユニタリ行列によって誘導されるマップとして定義され、双確率的および完全正則マップの部分集合をなす。
• 行列を複合ヒルベルト＝シュミット空間の要素と見たとき、そのスミット係数は、リシャッフル形の特異値の二乗に等しい。
• 単体Δ_{N-1}上の古典的確率的マップは、量子マップの対角制限と同型であり、古典的状態ベクトルは動的行列の対角成分に対応する。
• 完全正則、完全共正則、および分解可能なマップ集合の境界からのマップの位置を測るための3つの定量化指標が導入された。