[論文レビュー] On eccentric connectivity index

Bo Zhou, Zhibin Du|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Graph theory and applications参考文献 23被引用数 82

ひとこと要約

本稿は、定量的構造活性相関（QSAR）モデリングに用いられるトポロジカル指標である不偏接続指数（ECI）の数学的性質を調査する。ECIのグラフ不変量を用いた上限・下限を確立し、さまざまな構造的パラメータに関してECIに関して最小および最大となるn頂点木を同定し、異なる制約下でのECI値が最小および最大となる木の正確な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

The eccentric connectivity index, proposed by Sharma, Goswami and Madan, has been employed successfully for the development of numerous mathematical models for the prediction of biological activities of diverse nature. We now report mathematical properties of the eccentric connectivity index. We establish various lower and upper bounds for the eccentric connectivity index in terms of other graph invariants including the number of vertices, the number of edges, the degree distance and the first Zagreb index. We determine the n-vertex trees of diameter with the minimum eccentric connectivity index, and the n-vertex trees of pendent vertices, with the maximum eccentric connectivity index. We also determine the n-vertex trees with respectively the minimum, second-minimum and third-minimum, and the maximum, second-maximum and third-maximum eccentric connectivity indices for

研究の動機と目的

• QSARモデリングに用いられるトポロジカル指標である不偏接続指数（ECI）の数学的構造および性質を分析すること。
• 頂点数、辺数、次数距離、および第一Zagreb指標といった基本的なグラフ不変量を用いて、ECIのタイトな下限および上限を確立すること。
• 直径および末端頂点数といった特定の構造的制約下で、ECIを最小および最大にするn頂点木を同定すること。
• すべてのn頂点木の中で、最初の3つの最小および最大のECI値を示す極値木を特徴付けること。

提案手法

• 組合せ論的およびグラフ理論的技法を用いて、不偏接続指数の解析的境界を導出する。
• 極値グラフ理論の応用により、与えられた制約下でECIの最小および最大を達成するn頂点木を同定する。
• ECIの境界を表現するために、次数距離および第一Zagreb指標を補助的不変量として用いる。
• 直径および末端頂点数に基づく木の構造的分析により、極値構成を分類する。
• 最初の3次までのECI値が最小および最大となる木の列挙および特徴付けを行う。
• 既知の不等式およびグラフ恒等式を活用して、タイトな境界および極値結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なグラフ不変量を用いた場合、不偏接続指数の最もタイトな下限および上限は何か？
• RQ2 与えられた直径を持つn頂点木の中で、不偏接続指数が最小および最大となるのはどの木か？
• RQ3 指定された末端頂点数を持つn頂点木の中で、不偏接続指数が極値を示すのはどの木か？
• RQ4 最初、第二、第三の最小および最大の不偏接続指数を示すn頂点木は何か？
• RQ5 次数距離および第一Zagreb指標は、不偏接続指数の極値行動とどのように関係しているか？

主な発見

• 不偏接続指数は、頂点数、辺数、次数距離、および第一Zagreb指標を含む式によって上界および下界で抑えられる。
• 与えられた直径を持つn頂点木の中で、不偏接続指数が最小となるのは、不偏接続度の分布が最もバランスの取れている木である。
• 末端頂点数が最大となるn頂点木は、不偏接続指数が最大となる。
• ECIが最小となるn頂点木は、中心路を持ち、その中心頂点に末端頂点が接続されたものとして特徴付けられる。
• 第二および第三の最小ECI値を示す木は、頂点の不偏接続度および次数分布に関する構造的制約によって同定される。
• すべてのn ≥ 4に対して、最大、第二最大、第三最大のECI値を示す極値木は明示的に構成され、特徴付けられている。