[論文レビュー] On efficient weighted integration via a change of variables

Peter Kritzer, Friedrich Pillichshammer+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^d$ や $\mathbb{R}_+^d$ などの非有界領域における重み付き積分のための、効率的な準モンテカルロ(QMC)法およびスパースグリッド積分のための新しい変数変換を提案する。標準的な逆CDFベースの変換では境界特異性が生じるが、著者らは単位立方体から非有界領域へ写像する変換 $\nu$ を設計し、変換後の被積分関数が混合滑らかさ1次のソボレフ空間 $W_{d,p}$ に属することを保証する。これによりQMC法およびスパースグリッド法の最悪誤差が小さくなる。主な貢献は、近似誤差定数 $C_{d,p}(\nu)$ が有限であることを保証する $\nu$ に関する十分条件を特定することであり、$p \in [1, \infty]$ に対して有効な積分が可能になる。数値実験により有効性が検証され、標準的手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

In this paper, we study the approximation of $d$-dimensional $ρ$-weighted integrals over unbounded domains $\mathbb{R}_+^d$ or $\mathbb{R}^d$ using a special change of variables, so that quasi-Monte Carlo (QMC) or sparse grid rules can be applied to the transformed integrands over the unit cube. We consider a class of integrands with bounded $L_p$ norm of mixed partial derivatives of first order, where $p\in[1,+\infty].$ The main results give sufficient conditions on the change of variables $ν$ which guarantee that the transformed integrand belongs to the standard Sobolev space of functions over the unit cube with mixed smoothness of order one. These conditions depend on $ρ$ and $p$. The proposed change of variables is in general different than the standard change based on the inverse of the cumulative distribution function. We stress that the standard change of variables leads to integrands over a cube; however, those integrands have singularities which make the application of QMC and sparse grids ineffective. Our conclusions are supported by numerical experiments.

研究の動機と目的

• 非有界領域における重み付き積分に対して、標準的な逆CDFベースの変数変換がQMC法およびスパースグリッド法で効率的でない問題に対処すること。
• 変数変換 $\nu$ に対して、変換後の被積分関数が混合滑らかさ1次のソボレフ空間 $W_{d,p}$ に属するようになる十分条件を同定すること。
• QMC法およびスパースグリッド則の最悪誤差が有限定数 $C_{d,p}(\nu)$ によって抑えられることを保証し、$p \in [1, \infty]$ に対して効率的な積分を可能にすること。
• 数値実験を通じて、提案手法の変換が標準的な逆CDF法を上回ることを示すこと。特に $p > 1$ の場合に顕著な性能向上が得られる。

提案手法

• $d$ 次元の $\varrho$-重み付き積分を、非有界領域 $D^d$ 上で定義されたものから、単位立方体 $B^d$ 上での標準的ルベーグ積分に変数変換 $x_j = \nu(t_j)$ を用いて変換する。ここで $\nu: B \to D$ は微分可能な全単射である。
• 変換後の被積分関数は $g_{f,\nu}(\mathbf{t}) = f(\nu(t_1), \dots, \nu(t_d)) \cdot \prod_{j=1}^d \left( \varrho(\nu(t_j)) \cdot \nu'(t_j) \right)$ で定義され、測度保存性が保証される。
• すべての $f \in F_{d,p}$ に対して $g_{f,\nu} \in W_{d,p}$ が成り立つようにするための $\nu$ に関する十分条件を導出する。ここで $F_{d,p}$ は、混合第一階微分の $L_p$ ノルムが有界な関数の空間を表す。
• 解析により、標準的な逆CDF変換は $p > 1$ の場合に境界特異性を引き起こし、$C_{d,p}(\nu) = \infty$ となることが判明。これに対して、提案手法の $\nu$ はこの問題を回避する。
• 変換定数 $C_{d,p}(\nu)$ の振る舞いと変数の部分集合にわたる積構造を分析することで、無限次元設定および $\gamma$-重み付き空間への拡張が可能となる。
• 数値実験では、文献に由来する生成ベクトルを用いた格子則を用い、提案手法の $\nu$ と標準的な逆CDF変換の間で誤差の減少率を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の被積分関数の正則性が1次のみであっても、変換後の被積分関数が混合滑らかさ1次のソボレフ空間 $W_{d,p}$ に属するような変数変換を設計可能か？
• RQ2 QMC法およびスパースグリッド法の文脈において、なぜ標準的な逆CDFベースの変換は $p > 1$ の場合に失敗するのか？
• RQ3 変換 $\nu$ にどのような条件を課すと、誘導される誤差定数 $C_{d,p}(\nu)$ が有限かつ小さくなるか？
• RQ4 実際の応用において、提案手法の変換は標準的な逆CDF法と比較して、収束速度および絶対誤差の点でどのように優れているか？
• RQ5 本手法は、$\gamma$-重み付きの無限次元積分問題へ拡張可能か？

主な発見

• 標準的な逆CDFベースの変数変換では、すべての $p > 1$ に対して $C_{d,p}(\nu) = \infty$ となる。これは変換後の被積分関数に境界特異性が生じるためであり、QMC法およびスパースグリッド法が無効になる。
• 提案手法の変数変換 $\nu$ は、$g_{f,\nu} \in W_{d,p}$ をすべての $f \in F_{d,p}$ に対して保証する十分条件を満たしており、$C_{d,p}(\nu)$ が有限かつ小さいことが保証される。これによりQMC法およびスパースグリッド則の最悪誤差が有界に抑えられる。
• 重み $\varrho(x) = e^{-x}$ および関数 $f_d(\mathbf{x}) = \prod_{j=1}^d x_j$ を $\mathbb{R}_+^d$ 上で用いたテストにおいて、$a = a^* \approx 2.4557$ の場合、標準逆CDF法（$a=1$）や最適でない選択（$a=1.5$）よりも著しく速い誤差減少が得られた。
• $d=3$ の場合、$n=2^{15}$ ポイントで $a^*$ を用いた誤差は $2.05 \times 10^{-7}$ に低下したのに対し、$a=1$ の標準法では $3.26 \times 10^{-3}$ にとどまり、3桁の改善が達成された。
• $d=4$ の場合、$a^*$ を用いた誤差は $n=2^{15}$ で $2.60 \times 10^{-6}$ に低下したが、標準法（$a=1$）では依然として $3 \times 10^{-4}$ 以上の誤差を示し、提案手法の優位性とロバスト性が確認された。
• 本手法により、総コスト $O(\varepsilon^{-1})$ の関数評価で誤差 $\varepsilon$ を達成できる無限次元重み付き積分の効率的近似が可能となった。これはマルチレベルモンテカルロ法の文脈で示された。