[論文レビュー] On electromagnetism and generalized energy-momentum tensor of the electromagnetic field in spaces with Finsler geometry

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、接束 TM 上の変分法および微分形式を用いて、擬似フィンスラー時空における電磁気学を定式化する。一般化された電磁テンソル F = dA を導入し、時空の並進不変性からネーターの定理を経由して得られる対称なエネルギー運動量テンソル T（平坦な場合）を定義する。主な貢献は、両方の水平成分および垂直成分を含むエネルギー運動量テンソルの幾何学的かつゲージ不変な形でのマクスウェル方程式の定式化と保存則の確立である。

ABSTRACT

By using variational calculus and exterior derivative formalism, we proposed in two previous joint papers with S. Siparov a new geometric approach for electromagnetism in pseudo-Finsler spaces. In the present paper, we provide more details, especially regarding generalized currents, the domain of integration and gauge invariance. Also, for flat pseudo-Finsler spaces, we define a generalized energy-momentum tensor (consisting of two blocks), as the symmetrized Noether current corresponding to the invariance of the field Lagrangian with respect to spacetime translations. In curved spaces, one of the blocks of the generalized energy-momentum tensor is obtained by varying the field Lagrangian with respect to the metric tensor and the other one, by varying the same Lagrangian with respect to the nonlinear connection.

研究の動機と目的

• リーマン時空を超えたフィンスラー幾何学における電磁気学の幾何的定式化を発展させること。
• 微分形式および変分原理を用いて、接束 TM 上での電磁場を定義すること。
• 異方性を水平成分および垂直成分によって反映する一般化されたエネルギー運動量テンソルを構成すること。
• 時空的および方向的（y）依存性を含むエネルギー運動量テンソルの保存則を確立すること。
• 既存のモデルとは異なる、ゲージ不変かつ幾何学的に整合性のあるフィンスラー空間における電磁気学の枠組みを提供すること。

提案手法

• 接束 TM 上の変分法および外微分形式の形式を用いて、場の運動方程式を導出する。
• 4次元ポテンシャル A を、ファイバー座標 y に関して0次同次である水平1形式として定義する。
• 電磁テンソルを F = dA（TM 上の2形式）として導入し、マクスウェル方程式を dF = 0 および δF = −4π/c J♭ として定式化する。
• ラグランジアンの時空並進不変性から関連するネーターの運動量を対称化して一般化されたエネルギー運動量テンソル T を導出する。
• テンソルを2つのブロックに構成する：gij による変分から得られる Tij と、非線形接続 N による変分から得られる Ti¯j。
• 平坦および曲がったフィンスラー空間にこの形式を適用し、T の発散が −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j) に等しいことを示し、保存則を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方向に依存する計量を持つフィンスラー時空において、古典的電磁気学を一貫して拡張する方法は何か？
• RQ2 微分形式および変分原理を用いて、フィンスラー空間における電磁場およびその方程式の適切な幾何的定式化は何か？
• RQ3 異方性を反映させつつ保存則を維持するため、フィンスラー幾何学におけるエネルギー運動量テンソルをどのように一般化すべきか？
• RQ4 TM 上の一般化されたマクスウェル方程式において、電流および場の垂直（ファイバー）成分が果たす役割は何か？
• RQ5 このフィンスラー幾何的定式化においてゲージ不変性はどのように現れ、作用および場の運動方程式でどのように保存されるのか？

主な発見

• 一般化された電磁テンソルは、y に関して0次同次である TM 上の水平1形式 A に対して F = dA として定義され、ゲージ不変性が保証される。
• TM 上のマクスウェル方程式は dF = 0 および δF = −4π/c J♭ であり、J は恒等的に div J = 0 を満たすベクトル場である。
• 平坦なフィンスラー空間では、一般化されたエネルギー運動量テンソル T は対称的であり、2つのブロック Tijdxi⊗dxj および Ti¯jdxi⊗dy¯j から構成される。
• 水平ブロック Tij は異方性に起因する補正を加えた標準的なエネルギー運動量テンソルに対応するが、垂直ブロック Ti¯j は方向依存性に起因する新たな成分である。
• 保存則 div(T) = −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j) は、標準的な連続の式を一般化し、水平および垂直の電流成分からの寄与を含む。
• 曲がったフィンスラー空間では、Tij および Ti¯j はそれぞれ計量 gij および非線形接続 N による作用の変分によって独立に得られる。