[論文レビュー] On Elliptic Systems involving critical Hardy-Sobolev exponents

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて、多重臨界Hardy-Sobolev指数を有する楕円型系を考察し、錐領域および一般の開集合における解の存在、多重性、一意性、非存在性を確立する。主な貢献は、重み付き $ L^{2^*(s)} $ ノルムと勾配エネルギーを含む二変数不等式に対する鋭鋭定数および極値関数の導出であり、基底状態解および符号変化解への応用を含む。

ABSTRACT

Let $Ω\subset \R^N$ ($N\geq 3$) be an open domain which is not necessarily bounded. By using variational methods, we consider the following elliptic systems involving multiple Hardy-Sobolev critical exponents: $$\begin{cases} -Δu-λ\frac{|u|^{2^*(s_1)-2}u}{|x|^{s_1}}=κα\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^{α-2}u|v|^β\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ -Δv-μ\frac{|v|^{2^*(s_1)-2}v}{|x|^{s_1}}=κβ\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^α|v|^{β-2}v\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ (u,v)\in \mathscr{D}:=D_{0}^{1,2}(Ω) imes D_{0}^{1,2}(Ω), \end{cases}$$ where $s_1,s_2\in (0,2), α>1,β>1, λ>0,μ>0,κ eq 0, α+β\leq 2^*(s_2)$. Here, $2^*(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$ is the critical Hardy-Sobolev exponent. We mainly study the critical case (i.e., $α+β=2^*(s_2)$) when $Ω$ is a cone (in particular, $Ω=\R_+^N$ or $Ω=\R^N$). We will establish a sequence of fundamental results including regularity, symmetry, existence and multiplicity, uniqueness and nonexistence, {\it etc.} In particular, the sharp constant and extremal functions to the following kind of double-variable inequalities $$ S_{α,β,λ,μ}(Ω) \Big(\int_Ω\big(λ\frac{|u|^{2^*(s)}}{|x|^s}+μ\frac{|v|^{2^*(s)}}{|x|^s}+2^*(s)κ\frac{|u|^α|v|^β}{|x|^s}\big)dx\Big)^{\frac{2}{2^*(s)}}$$ $$\leq \int_Ω\big(| abla u|^2+| abla v|^2\big)dx$$ for $(u,v)\in {\mathscr{D}} $ will be explored. Further results about the sharp constant $S_{α,β,λ,μ}(Ω)$ with its extremal functions when $Ω$ is a general open domain will be involved.

研究の動機と目的

• 複数の臨界Hardy-Sobolev指数を含む非線形楕円型系の解の存在、多重性、正則性を分析すること。
• 特に $ \mathbb{R}^N_+ $ や $ \mathbb{R}^N $ のような錐領域において、正の基底状態解が存在するか否かの条件を特定すること。
• 一般の開領域における関連する二変数不等式の鋭鋭定数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 及びその極値関数を特徴付けること。
• 臨界指数条件の下で無限個の符号変化解の存在を確立すること。
• Pohozaev型恒等式および近似技法を用いて、正の基底状態解の対称性、減衰推定、幾何的構造を探索すること。

提案手法

• 著者らは、空間 $ \mathscr{D} = D_0^{1,2}(\Omega) \times D_0^{1,2}(\Omega) $ における変分法を用い、系に付随するエネルギー汎関数を分析する。
• 近似技法を用いて、系の正則化されたバージョンの解を構成し、極限に近づけることで元の問題の解を回復する。
• 近似された系にPohozaev恒等式を適用し、非自明解の存在に必要な条件を導出し、非存在性結果を証明する。
• 存在性の証明は、Nehari多様体の解析および濃縮・コンパクト性原理による最小エネルギー準位の推定に依拠する。
• 鋭鋭定数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ は、$ |x|^{-s} $ の重みと臨界指数を含む重み付きSobolev型不等式における最良定数として特徴付けられる。
• 切断関数およびコンパクト性の議論（Rellich-Kondrachovの定理）を用いて、濃縮現象を制御し、弱極限が消える場合の矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重臨界Hardy-Sobolev指数を有する楕円型系が錐領域に非自明な基底状態解を有するための条件は何か？
• RQ2 一般の開領域における鋭鋭定数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ およびその極値関数は何か？
• RQ3 パラメータ $ \alpha, \beta, s_1, s_2 $ に依存して、系が無限個の符号変化解を有する条件は何か？
• RQ4 特定のパラメータ関係のもとで、正の基底状態解の一意性または非存在性を確立できるか？
• RQ5 解の対称性、減衰、正則性の性質が、$ \Omega $ の幾何構造および $ s_1, s_2 $ の値にどのように依存するか？

主な発見

• $ \Omega = \mathbb{R}^N_+ $ または $ \mathbb{R}^N $ であり、臨界条件 $ \alpha + \beta = 2^*(s_2) $ を満たす場合、系は正の基底状態解を有する。
• 鋭鋭定数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ は、極値関数が正かつ対称である場合にのみ達成され、Pohozaev恒等式を用いて明示的な減衰推定が得られる。
• $ s_1 = s_2 = s \in (0,2) $ であり、臨界指数条件 $ \alpha + \beta = 2^*(s) $ を満たす場合、無限個の符号変化解が存在する。
• $ \lambda, \mu $ が十分に大きく、または $ \kappa $ が小さい場合、Pohozaev型恒等式を用いて非自明な基底状態解の非存在性が証明される。
• 近似系の最小エネルギー準位 $ c_{\varepsilon} $ は $ \lim_{\varepsilon \to 0} c_{\varepsilon} \geq c_0 > 0 $ を満たし、弱極限が消えないことを示し、非自明解の存在を示す。
• $ s_1 \neq s_2 $ の場合、近似、エネルギー推定、コンパクト性の議論を用いて正の基底状態解の存在が確立され、極限解は元の系を満たす。