[論文レビュー] On embedding of Lie conformal algebras into associative conformal algebras

Michael Roitman|ArXiv.org|Apr 28, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所性関数が一様に有界であるリー conformal 代数が、局所性の上限を保ったまま、結合的 conformal 代数に埋め込まれることを確立している。構成は、関係を強制するために注意深く定義されたイデアルを用いた普遍的包絡代数を用いる。この結果、特に冪零なリー conformal 代数—同様の指数の冪零な結合的 conformal 包絡代数を有することが示された。

ABSTRACT

We prove that a Lie conformal algebra L with bounded locality function is embeddable into an associative conformal algebra A with the same bound on the locality function. If L is nilpotent, then so is A, and the nilpotency index remains the same. We also give a list of open questions concerning the embedding of Lie conformal algebras into associative conformal.

研究の動機と目的

• リー conformal 代数が結合的 conformal 代数に埋め込まれる十分な条件を特定すること。
• 局所性関数の線形成長が埋め込みに十分かどうかという未解決の問題に取り組むこと。
• 古典的な包絡代数の概念を、特に冪零および局所性が有界なリー conformal 代数に対して、conformal の文脈へ一般化すること。
• 局所性の性質を制御できるように、結合的 conformal 包絡代数を構成するための構成的メソッドを提供すること。
• 有限型のリー conformal 代数とその有限型包絡代数との関係を調査すること。

提案手法

• リー conformal 代数 ${\mathfrak{L}}$ から形式的級数と除算冪を用いて、普遍的結合的 conformal 代数 ${\mathfrak{U}}$ を構成する。
• ${\mathfrak{U}}$ に全次数でフィルトレーションを定義し、conformal 積と微分 $D$ と整合性を保つようにする。
• 全次数 $\geq r$ のすべての語を生成するイデアル ${\mathfrak{I}}$ を定義し、局所性条件を強制する。ここで $r$ は局所性の上限である。
• ${\mathfrak{U}}/{\mathfrak{N}}$ の ${\mathds{k}}[D]$-線形基底 ${\mathcal{W}}$ を用いて、線形独立性を証明し、商の構造を制御する。
• ${\mathfrak{A}} = {\mathfrak{U}}/{\mathfrak{I}}$ が所望の局所性と埋め込み性質を持つ結合的 conformal 代数であることを示す。
• 関係式 (4) と (6) を用いた積の明示的計算により、商代数が conformal 結合的および局所的であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でリー conformal 代数が結合的 conformal 代数に埋め込まれるか？
• RQ2 一様に有界な局所性関数が、そのような埋め込みに十分か？
• RQ3 冪零なリー conformal 代数は、同じ指数の冪零な結合的 conformal 代数に埋め込まれるか？
• RQ4 有限型のリー conformal 代数の中心拡大の局所性関数は、元の代数が局所性が有界ならば有界のままであるか？
• RQ5 局所性関数の線形成長が埋め込みに十分か、それ以上の条件が必要か？

主な発見

• すべてのリー conformal 代数について、局所性関数 $S_{\mathfrak{L},{\mathcal{G}}}(l) \leq K$ がすべての $l$ に対して一様に有界であれば、同じ局所性関数の上限を持つ結合的 conformal 代数に埋め込まれる。
• この構成により、任意の冪零なリー conformal 代数に対して、同じ指数の冪零な結合的 conformal 包絡代数が得られる。
• ${\mathfrak{U}}/{\mathfrak{I}}$ を用いた普遍的構成により、全次数 $\geq r$ のすべての語が消えることが保証され、局所性の上限が強制される。
• ${\mathfrak{I}}$ が適切であり、${\mathfrak{L}}$ と交わらないことが示され、${\mathfrak{L}}$ が ${\mathfrak{A}} = {\mathfrak{U}}/{\mathfrak{I}}$ に埋め込まれることが保証される。
• この方法により、包絡代数の局所性関数が元のリー conformal 代数のそれと一致することが証明された。
• この結果は、局所性関数が有界である有限型のリー conformal 代数が、有限型の結合的 conformal 包絡代数を有するという予想を支持する。