[論文レビュー] On energy functionals and the existence of Kahler-Einstein metrics

Yanir A. Rubinstein|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2006

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、Fano多様体にKähler-Einstein計量が存在することは、Bando, Chen, Ding, Mabuchi, Tianが導入したエネルギー汎関数が正のリッチ曲率を持つKähler計量の空間上で適切であることに等しいことを確立する。さらに、これらの汎関数が同時に下から有界であることを証明し、これを用いてKähler-Einstein多様体における一般化されたMoser-Trudinger-Onofri不等式を拡張する。

ABSTRACT

Abstract. We prove that the existence of a Kähler-Einstein metric on a Fano manifold is equivalent to the properness of the energy functionals defined by Bando, Chen, Ding, Mabuchi and Tian on the set of Kähler metrics with positive Ricci curvature. We also prove that these energy functionals are bounded from below on this set if and only if one of them is. As an application, we prove an extension of the generalized Moser-Trudinger-Onofri inequality on Kähler-Einstein manifolds. 1 Introduction. Our main purpose in this article is to give a new analytic characterization of Kähler-Einstein manifolds in terms of certain functionals defined on the infinite-dimensional space of Kähler forms. A necessary condition for a manifold to admit a Kähler-Einstein metric is that its first Chern class be either positive, negative or zero. Aubin and Yau proved that this condition is also sufficient in the

研究の動機と目的

• Kähler形式の空間におけるエネルギー汎関数を用いたKähler-Einstein計量の新しい解析的特徴付けを提供すること。
• Kähler-Einstein計量の存在とこれらの汎関数の適切性との間の同値性を確立すること。
• 一つの汎関数が下から有界であることと、すべてのこのような汎関数が同時に下から有界であることの同値性を証明すること。
• エネルギー汎関数の関数的枠組みを用いて、Kähler-Einstein多様体における一般化されたMoser-Trudinger-Onofri不等式を拡張すること。

提案手法

• 正のリッチ曲率を持つKähler計量の空間上で定義されたBando, Chen, Ding, Mabuchi, Tianによるエネルギー汎関数を利用する。
• Kähler-Einstein計量の存在の基準として、これらの汎関数の適切性を分析する。
• 変分法と幾何解析を用いて、関数的挙動と曲率条件との関係を関係づける。
• 関数的解析的手法を用いて、汎関数の適切性とKähler-Einstein計量の存在との同値性を確立する。
• エネルギー汎関数の下からの有界性を用いて、幾何的不等式を導出する。
• 結果を応用して、Kähler-Einstein多様体の文脈におけるMoser-Trudinger-Onofri不等式の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体にKähler-Einstein計量が存在することは、Bando, Chen, Ding, Mabuchi, Tianが定義したエネルギー汎関数が正のリッチ曲率を持つKähler計量の空間上で適切であることと同値か？
• RQ2 正のリッチ曲率を持つKähler計量の空間上で、これらのエネルギー汎関数は同時に下から有界か？
• RQ3 エネルギー汎関数の関数的枠組みを用いて、Kähler-Einstein多様体における一般化されたMoser-Trudinger-Onofri不等式を拡張できるか？
• RQ4 エネルギー汎関数の適切性とFano多様体上の正規計量の存在との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• Fano多様体にKähler-Einstein計量が存在することは、Bando, Chen, Ding, Mabuchi, Tianが定義したエネルギー汎関数が正のリッチ曲率を持つKähler計量の空間上で適切であることと同値である。
• これらのエネルギー汎関数がすべて同時に下から有界であることは、そのうちの一つが下から有界であることと同値である。
• 関数的枠組みは、Kähler-Einstein計量の存在に対する新しい解析的基準を提供する。
• 結果として、Kähler-Einstein多様体における一般化されたMoser-Trudinger-Onofri不等式の拡張が得られる。
• 汎関数の適切性とKähler-Einstein計量の存在との同値性は、存在問題に対する変分的アプローチを提供する。