[論文レビュー] On entropic and almost multilinear representability of matroids

Lukas Kühne, Geva Yashfe|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散確率変数によるエントロピー的表現および体上の部分空間配置によるほぼ多重線形表現という2つの一般化されたマトロイド表現問題のアルゴリズム的決定不能性を確立する。著者たちは、有限群の均一な語問題およびsofic群の語問題への還元を用いて、与えられたマトロイドがこのような表現をもつかどうかを決定するアルゴリズムが存在しないことを証明し、情報理論、ネットワークコーディング、秘密分散共有分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This article studies two notions of generalized matroid representations motivated by algorithmic information theory and cryptographic secret sharing. The first (entropic representability) involves discrete random variables, while the second (almost-multilinear representability) deals with approximate subspace arrangements. In both cases, we prove that determining whether an input matroid has such a representation is undecidable. Consequently, the conditional independence implication problem is also undecidable, providing an independent answer to a question posed by Geiger and Pearl, recently resolved by Cheuk Ting Li. These problems are also closely related to characterizing achievable rates in network coding and constructing secret sharing schemes. For example, another corollary of our work is that deciding whether an access structure admits an ideal secret sharing scheme is undecidable. Our approach reduces undecidable problems from group theory to matroid representation problems. Specifically, we reduce the uniform word problem for finite groups to entropic representability and the word problem for sofic groups to almost-multilinear representability. A key part of this reduction involves modifying group presentations into forms where linear representations are generic in an appropriate sense when restricted to the generating set.

研究の動機と目的

• マトロイドのランク関数が離散確率変数のスケーリングされたエントロピーに対応する、エントロピー的マトロイド表現のアルゴリズム的決定可能性を調査すること。
• マトロイドのランクが体上の部分空間配置のスケーリングされた次元によって近似可能な、ほぼ多重線形表現を検討すること。
• 条件付き独立性の含意、ネットワークコーディング、秘密分散共有スキームに中心的な役割を果たす、これらの一般化された表現問題の決定可能性の状態を解明すること。
• マトロイド表現と、特に有限群およびsofic群の語問題を含む深い代数的問題との間の関係を確立すること。
• 与えられたアクセス構造に対して理想型秘密分散共有スキームが存在するかどうか、およびネットワークコーディングにおける近似線形解法が存在するかどうかが、アルゴリズム的に決定不能であることを示すこと。

提案手法

• 群代数上でのvon Staudt型構成を用いて、エントロピー的マトロイド表現（EMR）問題を有限群の均一な語問題に還元する。
• 群の語問題の可解性に依存するエントロピー制約と確率変数の構成を用いて、エントロピー的表現が可能なマトロイドの族を構成する。
• 同様の還元を、ほぼ多重線形マトロイド表現（AMMR）問題に適用し、誤差有界の合成をもつカテゴリの極限を用いる。
• 近似表現をモデル化するために、度合いの極限における自己同型の等価関係と度合いの極限を用い、有限構造における自己同型の等価性が極限において正確な等価性に対応することを保証する。
• 有限近似から極限カテゴリへの関係の持ち上げを可能にするために、有限生成カテゴリと度合いのカテゴリへのホモモーティズムを用いる。
• 系列の構造において関係が誤差 $1/n$ 以内で満たされるならば、その超積は関係を正確に満たすことが保証され、関手的持ち上げが極限において可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたマトロイドがエントロピー的である、すなわちランク関数がスケーリングされたエントロピーに一致する離散確率変数の連合分布から生じるかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 マトロイドが体上の部分空間次元によって任意に良く近似可能である、すなわちほぼ多重線形表現をもつかどうかをアルゴリズム的に判定できるか？
• RQ3 与えられたアクセス構造に対して理想型秘密分散共有スキームが存在するかどうかは、決定可能な問題か？
• RQ4 エントロピー的表現と同値である条件付き独立性の含意問題は、決定可能か？
• RQ5 ほぼ多重線形表現と関係があることから、ネットワークコーディングにおける近似線形解法がアルゴリズム的に決定可能か？

主な発見

• エントロピー的マトロイド表現（EMR）問題はアルゴリズム的に決定不能である。これは、与えられたマトロイドがスケーリングされたエントロピーがランク関数に一致する離散確率変数の連合分布から生じるかどうかを決定する一般のアルゴリズムが存在しないことを意味する。
• ほぼ多重線形マトロイド表現（AMMR）問題についても決定不能である。これは、マトロイドが体上の部分空間次元によって任意に良く近似可能かどうかを決定するアルゴリズムが存在しないことを意味する。
• EMRの決定不能性は、与えられたアクセス構造に対して理想型秘密分散共有スキームが存在するかどうかの問題が決定不能であることを示し、長年の未解決問題を解決する。
• AMMRの決定不能性は、ネットワークコーディングのインスタンスが近似線形ベクタコーディング解法をもつかどうかが決定不能であることを示し、既存の線形解法に関する結果を拡張する。
• これらの結果は、有限群の均一な語問題およびsofic群の語問題への還元を用いて得られ、マトロイド理論と群論との間の深い関係を示している。
• 度合いの極限と無限小の等価関係の使用により、有限構造における近似等価性が極限における正確な等価性に変わる極限カテゴリの構築が可能となり、近似間の関係の伝達が可能になる。