[論文レビュー] On entropy stable temporal fluxes

Ayoub Gouasmi, Karthik Duraisamy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間時間連続ガラーキン法における時間方向へのエントロピー安定性の拡張を、空間方向のフラックスと類似した方法で時間界面用のエントロピー保存的・エントロピー安定的フラックスを導出することによって実現する。上流化（アップウインド）が時間方向に inherently エントロピー安定的であることを証明し、それをエントロピー保存的フラックスと正定値の散逸項に分解できることを示し、乱流流れの高次シミュレーションにおける安定性の向上に基盤を提供する。

ABSTRACT

Entropy-stable (ES) schemes have gained considerable attention over the last decade, especially in the context of turbulent flow simulations using high-order methods. While promising because of their nonlinear stability properties, ES schemes have to address a number of issues to become practical. One of them is how much entropy should be produced by the scheme at a certain level of under-resolution. This problem has been so far studied by considering different ES interfaces fluxes in the spatial discretization only because they can be tuned to generate a certain amount of entropy. In this note, we point out that, in the context of space-time discretizations, the same applies to ES interface fluxes in the temporal direction.

研究の動機と目的

• 高次乱流流れシミュレーション用スキームの時間離散化におけるエントロピー安定性解析の欠如に取り組む。
• 解像度が不足するシミュレーションにおいて、時間方向のエントロピー生成が空間方向の散逸の必要性をどれだけ軽減できるかを調査する。
• 空間フラックスと同一のフレームワークを用いて、双曲型保存則のためのエントロピー保存的およびエントロピー安定的時間フラックスを開発する。
• 上流化（アップウインド）が時間方向に inherently エントロピー安定的であることを示し、エントロピー保存的フラックスと正定値の散逸項に分解することを証明する。
• 特にサブグリッドスケールモデルの文脈において、因果性とエントロピー安定性のトレードオフを空間時間DG式の文脈で探求する。

提案手法

• 時間方向にTadmorのエントロピー安定性フレームワークを適応させ、時間も空間と同様に座標として扱う。
• 時間方向のエントロピー保存的フラックスを、エントロピー変数空間内での直線的経路に沿った時間フラックスヤコビアンの積分によって導出する。
• 時間方向のエントロピー安定性を達成するために、$ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ 形式の散逸項を導入し、$ T^{n+rac{1}{2}} $ を対称正定値行列とする。
• 上流化（時間方向）$ u^{n+rac{1}{2}} = u^n $ が、エントロピー保存的フラックスと正定値の散逸行列の和に等価であることを証明する。
• フラックスの粘性形を用いて、上流化をエントロピー保存的フラックスと散逸項の組み合わせとして再定式化し、散逸行列を時間ヤコビアンの積分から導出する。
• 時間ヤコビアン $ H(v) $ が正定値であることを示し、ジャンプ時にエントロピー生成が生じることを保証する。また、得られた散逸項が時間方向の暗黙的サブグリッドスケールモデルとして機能することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間不連続ガラーキンスキームの時間方向に、空間方向と類似したエントロピー安定的フラックスを構築可能か？
• RQ2 解像度が不足する乱流流れのシミュレーションにおいて、時間方向のエントロピー生成が空間方向の散逸の必要性をどの程度軽減できるか？
• RQ3 時間方向の上流化は inherently エントロピー安定的か？ もしそうであれば、どのようにエントロピー保存的成分と散逸成分に分解できるか？
• RQ4 因果性のないエントロピー保存的時間フラックスを使用する場合、時間スラブ間の結合性と計算コストにどのような影響があるか？
• RQ5 大渦シミュレーションおよびサブグリッドスケールモデリングの文脈において、時間方向のエントロピー安定性と空間方向のエントロピー安定性はどのように相互作用するか？

主な発見

• 時間フラックスヤコビアンをエントロピー変数空間内での直線的経路に沿って積分することにより、空間の場合と同様にエントロピー保存的時間フラックスを導出可能である。
• 対称正定値行列 $ T^{n+rac{1}{2}} $ を用いた散逸項 $ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ を加えることで、エントロピー安定的時間フラックスを達成でき、エントロピー生成が非負となることを保証する。
• 上流化（時間方向）が、エントロピー保存的フラックスと正定値の散逸項の和として表現できることを証明し、散逸行列が時間ヤコビアンの積分から導出されることを示した。
• 上流フラックス分解における散逸項が対称正定値であることを示し、時間方向上流化のエントロピー安定性を裏付けた。
• 時間方向の散逸項は、時間に暗黙的なサブグリッドスケールモデルとして解釈可能であり、空間のサブグリッドスケールモデリングと物理的類似性を示唆する。
• 因果性のないエントロピー保存的時間フラックスは、時間インターフェースで選択的に使用可能であり、ブロック暗黙的時間積分を可能にするが、メモリ使用量と演算強度が増加する。それでもエントロピー安定性は保持される。