[論文レビュー] On enumeration in classical invariant theory

Bruce W. Westbury|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、再帰的群の下での表現のテンソル冪の不変部分空間のフロベニウス指標を、プレシズムと対称関数論を用いて計算するための公式を提示する。主な結果は、多項式関手 $ P(V) $ の不変部分空間の指標を、元の表現 $ V $ 自身の不変部分空間の指標で表すことであり、組合せ的対称関数技法を用いて古典的不変量理論における数え上げを可能にする。

ABSTRACT

In this paper we study the Frobenius characters of the invariant subspaces of the tensor powers of a representation V. The main result is a formula for these characters for a polynomial functor of V involving the characters for V. The main application is to representations V for which these characters are known. The best understood case is for V the vector representation of a symplectic group or special linear group. Other cases where there are some related results are the defining representations of the symmetric groups and the adjoint representations of the general linear groups. This formula uses methods of enumerative combinatorics and in particular is similar to the cycle index series of regular graphs.

研究の動機と目的

• テンソル冪における $ G $-不変部分空間のフロベニウス指標を計算する一般的手法を開発すること。
• 表現 $ V $ に多項式関手を適用した場合の不変部分空間の指標を、$ V $ 自身の不変部分空間の指標で表現すること。
• 対称関数およびプレシズムを用いた組合せ的枠組みを提供し、不変量の数え上げを可能にすること。
• 古典的不変量理論における不変環のヒルベルト級数および次元に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 論文は、対称群の表現とテンソル不変量を結びつけるために、多項式関手およびそれに関連するシュール関手の理論を用いる。
• プレシズムおよび対称関数のスカラー積を用いて、不変部分空間のフロベニウス指標の母関数を構成する。
• 主な公式は、コーシーの恒等式および指標論を用いて導出され、$ I_r(P(V)) $ と $ I_{rk}(V) $ の間の関係を $ \left\langle h_r[X \cdot \mathbf{ch}P[Y]], I_{rk}(V)[Y] \right\rangle_Y $ で表す。
• この手法は、サイクル指数級数および数え上げ組合せ論を活用し、正則グラフの数え上げやカード配りの類似性に着目する。
• 多項式関手の指標を計算するための指標公式 $ \mathbf{ch}P = \frac{1}{r!} \sum_{\pi \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{Tr}(\rho(\pi)) p_{\lambda(\pi)} $ を用いる。
• 既知の例（$ \mathrm{SL}(n) $、$ \mathrm{Sp}(2n) $、対称群、$ \mathrm{GL}(n) $）を用いてフレームワークを検証し、既存の結果と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式関手 $ P $ に対して、$ \otimes^r P(V) $ の $ G $-不変部分空間のフロベニウス指標はどのように計算できるか？
• RQ2 $ P(V) $ の不変量と元の表現 $ V $ の不変量との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 $ P(V) $ の不変環のヒルベルト級数は、対称関数および $ V $ の既知の不変量で表現可能か？
• RQ4 プレシズムおよび対称関数の理論を、古典的不変量理論における不変量の数え上げにどの程度活用できるか？

主な発見

• テンソル冪 $ \otimes^r P(V) $ の $ G $-不変部分空間のフロベニウス指標は、$ I_{rk}(V) $ を $ \otimes^{rk}V $ の不変部分空間の指標とするとき、$ \left\langle h_r[X \cdot \mathbf{ch}P[Y]], I_{rk}(V)[Y] \right\rangle_Y $ で与えられる。
• $ \mathrm{SL}(n) $ の定義表現 $ V $ に対して、$ r = mn $ のとき $ I_r(V) = s_{m^n} $、それ以外の場合は 0 である。
• $ \mathrm{Sp}(2n) $ の定義表現 $ V $ に対して、$ I_r(V) = \sum_{\lambda \vdash 2r, \text{even columns}, \ell(\lambda) \leq 2n} s_\lambda $ である。
• $ \mathrm{GL}(n) $ の随伴表現 $ V $ に対して、$ I_r(V) = \sum_{\lambda \vdash r} s_\lambda * s_\lambda $ であり、ここで $ * $ は内部積を表す。
• 多項式関手 $ P(V) $ 上の同次不変量空間の次元は、$ \left\langle h_r[\mathbf{ch}P], I_{rk}(V) \right\rangle $ で与えられる。
• $ n $ 頂点の $ k $-正則グラフの数は、$ \left\langle h_n[h_k], h_{nk/2}[h_2] \right\rangle $ で与えられ、この公式の数え上げ的威力を示している。