[論文レビュー] On epsilon factors attached to supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p ≠ 2 である p進体 F 上の非分岐ユニタリ群 U(2,1) の一般型超臨界表現に対して、ε因子と L 関数に関する予想を定式化し、それを新形式のゼータ積分を用いて証明する。新形式のゼータ積分が特定のシュワーツ関数と組み合わせて L 因子を計算することを確立し、ε 因子が q_F^{-c(π)s} の定数倍であることを示し、Casselman–Deligne の GL(2) 理論を U(2,1) に拡張する。

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field F of odd resudual characteristic. Gelbart, Piatetski-Shapiro and Baruch attached zeta integrals of Rankin-Selberg type to irreducible generic representations of G. In this paper, we formulate a conjecture on L- and epsilon-factors defined through zeta integrals in terms of local newforms for G, which is an analogue of the result by Casselman and Deligne for GL(2). We prove our conjecture for the generic supercuspidal representations of G.

研究の動機と目的

• Casselman と Deligne の GL(2) における局所的新形式理論を、非分岐ユニタリ群 U(2,1) に拡張すること。
• U(2,1) の一般型表現に対して、新形式のゼータ積分と L 因子、ε 因子との関係を定式化する予想を提示すること。
• この予想を、U(2,1) の一般型超臨界表現に対して具体的に証明すること。
• GL(2) と類似する形で、U(2,1) の文脈における ε 因子と導手の正確な関係を確立すること。

提案手法

• 先行研究で導入された一連の開コンパクト部分群の族を用いて、U(2,1) の既約一般型表現に対する新形式を定義する。
• Gelbart, Piatetski-Shapiro, Baruch が開発した、F² 上のホイットカー関数とシュワーツ関数を含むランキン＝セールバーグのゼータ積分を用いる。
• 新形式の空間にヘッケ作用素およびレベル低下作用素を導入し、対角行列におけるホイットカー関数値の再帰的関係を導出する。
• 作用素 T のヘッケ固有値 λ を用いて、新形式のゼータ積分を Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s}) として明示的に表現する。
• ゼータ積分の関数等式および ε 因子の性質を用いて、π が超臨界であるとき Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π) を示す。
• 命題 2.14 から ε 因子が単項式であることを応用し、矛盾を排除することで L 因子の計算を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(2,1) の一般型表現の L 因子は、特定のシュワーツ関数と組み合わせた新形式のゼータ積分によって計算可能か？
• RQ2 U(2,1) の一般型超臨界表現 π に対して、ε(s, π, ψ_F, ψ_E) は、GL(2) の場合と同様に q_F^{-c(π)s} の定数倍か？
• RQ3 ホイットカー表現における新形式のゼータ積分は、F² のある格子の特性関数と組み合わせて、L 因子 L(s, π) を完全に得るか？
• RQ4 U(2,1) における新形式の空間上のヘッケ固有値は、ゼータ積分の値とどのように関係するか？
• RQ5 中央特徴のどのような条件が予想の妥当性を保証するか？ また、これは超臨界表現の証明にどのように影響を与えるか？

主な発見

• U(2,1) のすべての一般型超臨界表現 π に対して、新形式 W_v とシュワーツ関数 Φ_{N_π} のゼータ積分は L(s, π) に等しい。
• 新形式のゼータ積分は、Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s}) として明示的に与えられ、ここで λ は新形式空間上のヘッケ固有値である。
• ε 因子は ε(s, π, ψ_F, ψ_E) = q^{-2N_π(s - 1/2)} L_E(1 - s, 1) / L_E(s, 1) を満たし、単項式の性質が確認される。
• 超臨界表現では、関数等式と ε 因子のモノドロミー条件が Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π) を強制し、予想が証明される。
• 導手 c(π) = N_π であり、新形式の空間 V(N_π) は1次元である。これは GL(2) 理論を U(2,1) に拡張することを示す。
• 証明は、すべての超臨界表現がヘッケ作用素法を適用可能とするために必要な中央特徴の条件を満たしていることに依拠している。