[論文レビュー] On equivalence of the LKJ distribution and the restricted Wishart distribution

Zhenxun Wang, Yunan Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Advanced Statistical Methods and Models被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制限付きウィシャート分布とLKJ分布の等価性を確立し、両者が相関行列における同じ事前分布をもたらすことを示した。著者らは、制限付きウィシャート分布を用いた新しい相関行列の乱数生成法を提案し、特に低次元（T < 120）において従来のオニオン法よりも著しく高速であることを示した。シミュレーションでは、最大2.2倍の高速化が達成された。

ABSTRACT

In this paper, we want to show the Restricted Wishart distribution is equivalent to the LKJ distribution, which is one way to specify a uniform distribution from the space of positive definite correlation matrices. Based on this theorem, we propose a new method to generate random correlation matrices from the LKJ distribution. This new method is faster than the original onion method for generating random matrices, especially in the low dimension ($T&lt;120$) situation.

研究の動機と目的

• 相関行列に対する制限付きウィシャート分布とLKJ分布の理論的等価性を確立すること。
• 制限付きウィシャート枠組みを用いて、LKJ分布に従う乱数相関行列を生成する新しい計算手法を提供すること。
• 従来のオニオン法の代替手段としての高速化を実現することで、ベイズモデリングにおける計算効率を向上させること。
• 部分相関係数パラメータ化を通じてウィシャート分布の理解を深めること。

提案手法

• 制限付きウィシャート分布は、ウィシャート分布に分離戦略を適用することで導出され、共分散行列を分散と相関行列に分解する。
• この手法では、カイ二乗分布および標準正規乱数を用いた下三角行列の因子分解により、ウィシャート分布に従う行列を生成するバートレット分解が用いられる。
• 制限付きウィシャート分布における相関行列の同時密度関数が、ヤコビアン変換およびガンマ関数の恒等式を用いてLKJ密度と一致することが導出された。
• 正規化定数に関する数学的帰納法を用いて等価性が証明され、制限付きウィシャート分布が法律的にLKJ分布と同一であることが確認された。
• 乱数相関行列は、制限付きウィシャート分布からサンプリングし、得られた共分散行列を相関行列に変換することで生成される。
• Rを用いてオニオン法と比較して実行時間のベンチマークが測定され、次元T = 20から280の範囲で計測が行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きウィシャート分布は、相関行列に関して数学的にLKJ分布と等価であるか？
• RQ2 制限付きウィシャート分布は、LKJ分布に従う相関行列の生成に、オニオン法の効率的代替手段として使用可能か？
• RQ3 低次元および高次元設定において、制限付きウィシャート法はオニオン法に比べてどの程度の計算性能優位性を示すか？
• RQ4 制限付きウィシャート枠組みにおける部分相関係数パラメータ化は、LKJ分布の構築とどのように関係するか？

主な発見

• 正規化定数の検証に帰納法およびガンマ関数の恒等式を用いた結果、制限付きウィシャート分布は数学的にLKJ分布と等価であることが証明された。
• 制限付きウィシャート分布に基づく新規手法は、オニオン法よりも相関行列の乱数生成が高速であり、特に低次元（T < 120）で顕著な高速化が得られた。T = 20では最大2.2倍の高速化が観察された。
• T = 20のとき、制限付きウィシャート法では5,000個の行列を生成するのに0.70秒を要したが、オニオン法では1.53秒を要した。
• 高次元（T ≥ 240）では性能差が縮まり、両手法とも5,000個の行列を生成するのに約44〜50秒を要した。
• 制限付きウィシャート法と逆制限付きウィシャート法は、計算効率がほぼ同等であり、両者とも低次元においてオニオン法を上回った。
• 等価性は、部分相関係数パラメータ化を通じて、相関行列に対するウィシャート分布の事前分布としての理論的根拠を提供する。