[論文レビュー] On equivariant triangulated categories

Alexey Elagin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、有限群作用を伴う三角的圏における G-不変対象の圏に自然な三角的構造が存在することを、技術的条件下で確立する。また、元の圏が G-不変な DG-強化を備える場合、そのような G-不変圏の DG-強化を構成し、ファンクター性と quasi-equivalence の保存を証明する。

ABSTRACT

Consider a finite group $G$ acting on a triangulated category $\mathcal T$. In this paper we investigate triangulated structure on the category $\mathcal T^G$ of $G$-equivariant objects in $\mathcal T$. We prove (under some technical conditions) that such structure exists. Supposed that an action on $\mathcal T$ is induced by a DG-action on some DG-enhancement of $\mathcal T$, we construct a DG-enhancement of $\mathcal T^G$. Also, we show that the relation "to be an equivariant category with respect to a finite abelian group action" is symmetric on idempotent complete additive categories.

研究の動機と目的

• 有限群作用を伴う三角的圏における G-不変対象の圏に自然な三角的構造が存在することを確立すること。
• 元の圏が G-不変な DG-強化を備える場合、その G-不変圏の DG-強化を構成すること。
• アイデムポテンス完全な加法圏において、有限アーベル群作用に関する G-不変圏の関係が対称的であることの証明。
• G-不変 DG-圏の構成が quasi-equivalences とファンクター性を保存することの証明。
• 例えば G-多様体上の層や G-不変部分多様体上の台を持つ場合の、幾何的設定における G-不変導来圏の明示的 DG-強化の提供。

提案手法

• P. Balmer の三角的圏における群作用に関する結果を活用し、G-不変圏における三角的構造の存在を確立する。
• G-作用を伴う pretriangulated DG-圏 $ \mathcal{A} $ における G-不変対象の圏の DG-強化として、DG-圏 $ Q_G(Σ) $ を構成する。
• G-不変部分圏 $ \mathcal{A}^G $ 上の完全複体の DG-圏 $ \mathrm{Perf}(\mathcal{A}^G) $ を用いて $ Q_G(\mathcal{A}) $ を定義し、三角的構造と整合性を保つ。
• DG-強化および quasi-equivalence の理論を適用し、構成がファンクター性を保存することを示す： quasi-equivalent な DG-圏は、それに対応する G-不変 DG-圏に対しても quasi-equivalent である。
• $ H^0 $、$ \mathrm{Perf} $、および $ \Gamma $ ファンクターを含む図式の操作と可換図式を用いて、G-不変圏上の誘導ファンクターが適切に定義され、正確であることを検証する。
• 幾何的例（例えば G-多様体や G-不変部分多様体）にこの構成を適用し、インジェクティブ分解と一貫性のある層の導来圏を DG-強化として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角的圏における G-不変対象の圏が、自然な三角的構造を備えるための条件は何か？
• RQ2 元の圏 $ \mathcal{T} $ が G-不変な DG-強化を備える場合、G-不変圏 $ \mathcal{T}^G $ に対して DG-強化を構成できるか？
• RQ3 アイデムポテンス完全な加法圏において、有限アーベル群作用に関する G-不変圏の関係は対称的か？
• RQ4 DG-圏の quasi-equivalence に対して、G-不変 DG-構成はどのように振る舞うか？
• RQ5 例えば G-多様体上の層や G-不変部分多様体上の台を持つような幾何的設定における、G-不変導来圏の明示的 DG-強化の形は何か？

主な発見

• 有限群作用を伴う三角的圏 $ \mathcal{T} $ における G-不変対象の圏 $ \mathcal{T}^G $ は、技術的条件下で自然な三角的構造を備えることが、定理 6.9 で確立された。
• G-作用を伴う pretriangulated DG-圏 $ \mathcal{A} $ に対して、$ H^0(\mathcal{A})^G $ の DG-強化 $ Q_G(\mathcal{A}) $ が構成された。これは定理 8.9 に述べられている。
• 構成 $ Q_G(\mathcal{A}) $ は quasi-equivalences を保存する：$ \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2 $ が G-不変な DG-圏の quasi-equivalence であれば、$ Q_G(\phi): Q_G(\mathcal{A}_1) \to Q_G(\mathcal{A}_2) $ も quasi-equivalence である。
• 同型 $ H^0(Q_G(\mathcal{A})) \to H^0(\mathcal{A})^G $ は正確であり、$ H^0(\mathcal{A}) \to \mathcal{T} $ が G-不変な同型 $ \epsilon $ と組み合わせると、正確な同型 $ H^0(Q_G(\mathcal{A})) \to \mathcal{T}^G $ が得られる。これはコロナリー 8.10 に示されている。
• G-多様体 $ X $ と G-不変な閉部分多様体 $ Z $ に対して、圏 $ \mathcal{D}^b_Z(\mathrm{coh}(X))^G $ は DG-強化 $ \mathrm{Perf}(\mathcal{I}_Z^G) $ を備える。これは例 8.11 で示された。
• 構成はファンクター的である：$ \phi \mapsto Q_G(\phi) $ の割り当ては合成を尊重し、$ H^0 $ および $ \Gamma $ ファンクターと可換であり、三角的構造と整合性を保つ。