[論文レビュー] On error distance of received words with fixed degrees to Reed-Solomon code

YuJuan Li, Guizhen Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限体上での標準的および原始的リード・ソロモン符号に対する受信語の次数 $k+1$ および $k+2$ の誤差距離の正確な代数的特徴付けを提供する。ラグランジュ補間および対称多項式の恒等式を用いて、誤差距離が $q-k-1$ または $q-k-2$ であるための必要十分条件を導出し、体の特性および二次方程式の可解性に基づく、深い穴問題のケースを明確な基準で解消する。

ABSTRACT

Under polynomial time reduction, the maximum likelihood decoding of a linear code is equivalent to computing the error distance of a received word. It is known that the decoding complexity of standard Reed-Solomon codes at certain radius is at least as hard as the discrete logarithm problem over certain large finite fields. This implies that computing the error distance is hard for standard Reed-Solomon codes. Using some elegant algebraic constructions, we are able to determine the error distance of received words whose degree is k+1 to the Standard Reed-Solomon code or Primitive Reed-Solomon code exactly. Moreover, we can precisely determine the error distance of received words of degree k+2 to the Standard Reed-Solomon codes. As a corollary, we can simply get the results of Zhang-Fu-Liao and Wu-Hong on the deep hole problem of Reed-Solomon codes.

研究の動機と目的

• 固定次数 $k+1$ の受信語に対する標準的および原始的リード・ソロモン符号の正確な誤差距離を特定すること。
• 次数 $k+2$ の語へ分析を拡張し、誤差距離 $q-k-2$ の正確な条件を導出すること。
• 次数 $\deg(u) = k+1$ の場合に $d(u, \mathcal{C}) = q-k$ となるときの条件を特徴づけることで、深い穴問題のケースを解消すること。
• 有限体上での対称多項式系の可解性に基づく代数的基準を提供すること。
• 程・マレーおよび李・ワンによる深い穴および誤差距離の上限に関する先行結果を一般化・精緻化すること。

提案手法

• 受信語 $u$ の次数を、次数が $n-1$ 以下の唯一の補間多項式 $u(x)$ の次数として定義する。
• ラグランジュ補間を用いて $u(x)$ を表現し、$\deg(u) = k+1$ または $k+2$ の場合の構造を分析する。
• 誤差距離問題を、$k+1$ または $k+2$ 個の異なる体元における対称多項式方程式系への還元する。
• $\mathbb{F}_q$ 上での可解性を特定するため、判別式解析や二次剰余条件を含む体論的技法を適用する。
• 対称和およびトレース恒等式を用いて、方程式系を $x$ に関する一変数二次方程式に変換し、リーマン記号を用いてその可解性を分析する。
• $\mathbb{F}_q$ の特性 $p$ に基づく場合分け（$p=2$、$p=3$、$p>3$）を行い、$\sum x = 0$ および $\sum x^2 = 0$ に対する既知の恒等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $\deg(u) = k+1$ の受信語 $u$ に対して、$d(u, \mathcal{C}_q)$ の正確な値は何か？ また、それはいつ $q-k-1$ に等しくなるか？
• RQ2 次数 $\deg(u) = k+2$ の場合に、$u(x)$ の係数にどのような代数的条件が課されると $d(u, \mathcal{C}_q) = q-k-2$ となるか？
• RQ3 対称多項式の恒等式を用いて、標準的リード・ソロモン符号の深い穴問題が、次数 $k+1$ の語に対して完全に解消可能か？
• RQ4 $\mathbb{F}_q$ 上で $d(u, \mathcal{C}_q) \leq q-k-1$ を満たす解が存在するための $q$、$k$、および $u(x)$ の係数に関する条件は何か？
• RQ5 体の特性 $p$ が誤差距離方程式の可解性に与える影響は何か？ また、$k+1$ の $p$-可除性はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 次数 $\deg(u) = k+1$ の場合、誤差距離 $d(u, \mathcal{C}_q) = q-k-1$ であるための必要十分条件は、$\mathbb{F}_q$ 内の $k+1$ 個の異なる要素 $x_1, \dots, x_{k+1}$ と $a \in \mathbb{F}_q$ が存在し、$b = \sum x_i + a$ および $c = a\sum x_i + \sum_{i<j} x_i x_j$ を満たすことである。ここで $b$ と $c$ は $u(x)$ の係数である。
• 体の特性 $p=3$ の場合、$d(u, \mathcal{C}_q) = q-k-2$ であるための必要十分条件は、$-c$ が $\mathbb{F}_q$ 内の非ゼロ平方であることである。これは、異なる $x_1, x_2 \in \mathbb{F}_q$ に対して $-c = (x_1 - x_2)^2$ と等価である。
• $p \neq 2$ の場合、誤差距離方程式の可解性は、対称和を含む判別式の表現が、$\mathbb{F}_q$ 内の二次剰余集合 $S = \{x^2 \mid x \in \mathbb{F}_q\}$ に属するかどうかの確認に帰着される。
• $k+1 \equiv r \pmod{p}$ で $r \neq 0, -1$ の場合、二次方程式の可解性は、$m = \sum y_i$ および $n = \sum y_i^2$ の導出式が $S$ に属するかどうかに依存し、$q$ および $k$ に対してやや緩い条件が満たされれば保証される。
• $k+1 > q/2$ ならば、$\mathbb{F}_q^*$ 内に $\sum_{i<j} \xi_i \xi_j = 0$ を満たす $k+1$ 個の異なる非ゼロ要素 $\xi_i$ が存在するため、$d(u, \mathcal{C}_q) \leq q-k-1$ が成り立つ。これは、方程式系に解が存在することを示唆する。
• 本研究の結果は、程・マレーおよび李・ワンによる先行研究の上限を一般化・精緻化し、不等式ではなく正確な基準を提供する。また、特定の次数の場合に程・マレーの予想を裏付ける。