[論文レビュー] On estimating covariances between many assets with histories of highly variable length

Robert B. Gramacy, Joo Hee Lee+1 more|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

この論文では、リッジ回帰、lasso、主成分分析、部分最小二乘法などの単純化回帰手法を用いて、歴史的長さが著しく異なる資産を含む金融ポートフォリオにおける高次元共分散行列の推定手法を提案している。この手法は「pが大きくnが小さい」問題に立ち向かうもので、資産数が観測数を上回る場合でも、正確で安定した共分散行列の推定を可能にする。実装はオープンソースのRパッケージmonomvnで提供されている。

ABSTRACT

Quantitative portfolio allocation requires the accurate and tractable estimation of covariances between a large number of assets, whose histories can greatly vary in length. Such data are said to follow a monotone missingness pattern, under which the likelihood has a convenient factorization. Upon further assuming that asset returns are multivariate normally distributed, with histories at least as long as the total asset count, maximum likelihood (ML) estimates are easily obtained by performing repeated ordinary least squares (OLS) regressions, one for each asset. Things get more interesting when there are more assets than historical returns. OLS becomes unstable due to rank--deficient design matrices, which is called a "big p small n" problem. We explore remedies that involve making a change of basis, as in principal components or partial least squares regression, or by applying shrinkage methods like ridge regression or the lasso. This enables the estimation of covariances between large sets of assets with histories of essentially arbitrary length, and offers improvements in accuracy and interpretation. We further extend the method by showing how external factors can be incorporated. This allows for the adaptive use of factors without the restrictive assumptions common in factor models. Our methods are demonstrated on randomly generated data, and then benchmarked by the performance of balanced portfolios using real historical financial returns. An accompanying R package called monomvn, containing code implementing the estimators described herein, has been made freely available on CRAN.

研究の動機と目的

• 資産リターン履歴の長さに顕著な差がある大規模ポートフォリオにおける共分散行列推定の課題に対処すること。
• 通常最小二乗法（OLS）が設計行列のランク不足により失敗する多変量正規モデルにおける「pが大きくnが小さい」問題を克服すること。
• 金融データにおける単調欠損（monotone missingness）下で、計算的に扱いやすい共分散行列推定手法を開発すること。
• 制限的な要因モデルの仮定を課さずに、外部要因（例：マーケット、サイズ、バリューファクター）を柔軟に統合できること。
• 現実の金融データにおける不完全な履歴を前提とした、実用的でスケーラブルなポートフォリオリスクモデリングの解決策を提供すること。

提案手法

• 単調欠損のパターンを活用して尤度を因数分解し、多変量正規性下での最尤推定を可能にする。
• 通常最小二乗法（OLS）に代えて、リッジ回帰、lasso、主成分分析、部分最小二乗法などの単純化回帰手法を用い、高次元設定における推定の安定性を高める。
• 資産数が観測数を上回る場合の次元削減と数値的安定性の向上のため、基底変換技術を適用する。
• 要因と資産リターンの依存関係をデータ駆動で選択可能とするなど、外部要因を柔軟に統合する。
• CRANに登録されたオープンソースのRパッケージmonomvnとして実装し、再現可能でスケーラブルな推定を実現する。
• ブートストラップリサンプリングを用いて、推定された共分散行列のばらつきとポートフォリオパフォーマンスへの影響を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 資産リターン履歴の長さが著しく異なる高次元金融ポートフォリオにおいて、共分散行列を信頼性高く推定する方法は何か？
• RQ2 資産数が観測数を上回る場合、通常最小二乗法（OLS）による標準的最尤推定にはどのような限界があるか？
• RQ3 リッジ回帰、lasso、主成分分析などの単純化回帰手法は、単調欠損が存在する状況で推定の正確性と解釈可能性を向上させることができるか？
• RQ4 古典的な要因モデルで一般的な条件付き独立性の仮定を課さずに、外部要因を共分散行列推定に統合する方法は何か？
• RQ5 提案された推定手法は、現実の金融リターンデータから構築されたバランスの取れたポートフォリオのパフォーマンスにどの程度向上効果をもたらすか？

主な発見

• 提案手法により、資産数が観測数を上回る場合でも、安定的かつ正確な共分散行列推定が可能となり、「pが大きくnが小さい」問題を克服できる。
• 高次元設定において、通常最小二乗法（OLS）に比べ、リッジ回帰、lasso、主成分分析などの単純化回帰手法は推定の正確性と解釈可能性を著しく向上させる。
• 本手法は、任意で不均等な履歴長を持つデータセットを効果的に処理でき、資産が異なる時期に上場される現実の金融データに適している。
• 実際のリターン履歴を用いた実証的ベンチマークでは、提案された推定手法を用いて構築されたポートフォリオが、OLSに基づくものよりもリスク調整後のパフォーマンスが優れていることが示された。
• Rパッケージmonomvnは、スケーラブルでオープンソースの推定手法の実装を提供しており、再現性のある研究とポートフォリオ管理への実用的応用を可能にしている。
• ブートストラップ解析から、共分散行列の推定ばらつきがポートフォリオ特性に影響を及ぼすことが明らかとなり、平均・分散最適化における不確実性の評価の重要性が強調された。