[論文レビュー] On Estimating Maximum Matching Size in Graph Streams

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 64

ひとこと要約

本論文はグラフストリームにおける最大マッチングサイズの推定を研究し、挿入のみのストリームとダイナミックストリームに対する新しい上界と下界を提示し、結果を行列の秩と結びつける。

ABSTRACT

We study the problem of estimating the maximum matching size in graphs whose edges are revealed in a streaming manner. We consider both insertion-only streams and dynamic streams and present new upper and lower bound results for both models. On the upper bound front, we show that an $α$-approximate estimate of the matching size can be computed in dynamic streams using $\widetilde{O}({n^2/α^4})$ space, and in insertion-only streams using $\widetilde{O}(n/α^2)$-space. On the lower bound front, we prove that any $α$-approximation algorithm for estimating matching size in dynamic graph streams requires $Ω(\sqrt{n}/α^{2.5})$ bits of space, even if the underlying graph is both sparse and has arboricity bounded by $O(α)$. We further improve our lower bound to $Ω(n/α^2)$ in the case of dense graphs. Furthermore, we prove that a $(1+ε)$-approximation to matching size in insertion-only streams requires RS$(n) \cdot n^{1-O(ε)}$ space; here, RS${n}$ denotes the maximum number of edge-disjoint induced matchings of size $Θ(n)$ in an $n$-vertex graph. It is a major open problem to determine the value of RS$(n)$, and current results leave open the possibility that RS$(n)$ may be as large as $n/\log n$. We also show how to avoid the dependency on the parameter RS$(n)$ in proving lower bound for dynamic streams and present a near-optimal lower bound of $n^{2-O(ε)}$ for $(1+ε)$-approximation in this model. Using a well-known connection between matching size and matrix rank, all our lower bounds also hold for the problem of estimating matrix rank. In particular our results imply a near-optimal $n^{2-O(ε)}$ bit lower bound for $(1+ε)$-approximation of matrix ranks for dense matrices in dynamic streams, answering an open question of Li and Woodruff (STOC 2016).

研究の動機と目的

• ストリーミンググラフにおける最大マッチングサイズの推定の研究を動機づけ、推定と厳密な近似を区別する。
• ダイナミックストリームと挿入のみストリームの両方における alpha-近似サイズ推定の上界を提供する。
• 異なるグラフのスパース性およびデンス性の regime での alpha-近似サイズ推定の下界を証明する。
• ほぼ最適な (1+epsilon) 推定の近似二次量級の下界を確立し、Tutte 行列を介して結果を行列の秩と結びつける。

提案手法

• ダイナミックストリームで空間 ~n^2/alpha^4、挿入のみストリームで空間 ~n/alpha^2 で、マッチングサイズの alpha-近似推定を計算するシングルパスのストリーミングアルゴリズムを開発する。
• これらの推定境界がストリームにおける推定とマッチングの完全近似とを分離することを示す。
• 推定の空間下界を導出するために Boolean Hidden Hypermatching 問題からの還元を活用する。
• 情報理論の道具（エントロピー、相互情報、Fano の不等式）を適用して下界を得る。
• 最大マッチングサイズと行列秩（Tutte 行列）との関係を用いて、下界を秩 estimation に拡張する。
• RS(n) に基づく下界と近線形空間アルゴリズムへの影響を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフストリームにおける最大マッチングサイズの推定の空間と精度のトレードオフは何か？
• RQ2 挿入のみおよびダイナミックストリームにおいて、alpha-近似サイズ推定器は alpha-近似マッチャーより少ない空間を必要とするか？
• RQ3 挿入のみおよびダイナミックストリームでの (1+epsilon)-近似のマッチングサイズの空間下界は何か？
• RQ4 RS(n) に基づく下界は、密なグラフでのほぼ最適な推定の実現可能性にどう影響するか？
• RQ5 これらの結果は、Tutte 行列の結びつきを通じて行列の秩の推定へどのように翻訳されるか？

主な発見

• ダイナミックストリームにおける最大マッチングサイズの alpha-近似推定は ~O(n^2/alpha^4) の空間で、挿入のみストリームでは ~O(n/alpha^2) の空間で計算できる。
• マッチングサイズの推定は alpha-近似マッチングを見つけるよりも証明上容易であるが、ほぼ最適な精度では空間要件が収束する。
• ダイナミックストリームのマッチング推定に対する任意の alpha-近似アルゴリズムは少なくとも Omega(sqrt(n)/alpha^2.5) ビットを必要とし、密なグラフではより厳しい下界 Omega(n/alpha^2) となる。
• 挿入のみストリームでのほぼ最適な (1+epsilon) 推定では下界は Omega(RS(n) * n^{1-O(epsilon)}) およびダイナミックストリームでは Omega(n^{2-O(epsilon)})、モデルによる。
• 密な行列の秩の (1+epsilon)-近似に対して Tutte-矩阵の結びつきによりほぼ二次の空間下界を意味する。