[論文レビュー] On Euler Paths and the Maximum Degree Growth of Iterated Higher Order Line Graphs

Aryan Sanghi, Anubhav Dhar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2026

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ひとこと要約

反復されたリニアグラフ L^k(G) がオイラー路を持つ時期と最大次数の成長を分析し、繁盛グラフに対して多項式時間アルゴリズムと漸近成長公式を提供する。

ABSTRACT

Given a simple graph $G$, its line graph, denoted by $L(G)$, is obtained by representing each edge of $G$ as a vertex, with two vertices in $L(G)$ adjacent whenever the corresponding edges in $G$ share a common endpoint. By applying the line graph operation repeatedly, we obtain higher order line graphs, denoted by $L^{r}(G)$. In other words, $L^{0}(G) = G$, and for any integer $r \ge 1$, $L^{r}(G) = L(L^{r-1}(G))$. Given a graph $G$ on $n$ vertices, we wish to efficiently find out (i) if $L^k(G)$ has an Euler path, (ii) the value of $Δ(L^k(G))$. Note that the size of a higher order line graph could be much larger than that of $G$. For the first question, we show that for a graph $G$ with $n$ vertices and $m$ edges the largest $k$ where $L^k(G)$ has an Euler path satisfies $k = \mathcal O(nm)$. We also design an $\mathcal{O}(n^2m)$-time algorithm to output all $k$ such that $L^k(G)$ has an Euler path. For the second question, we study the growth of maximum degree of $L^k(G)$, $k \ge 0$. It is easy to calculate $Δ(L^k(G))$ when $G$ is a path, cycle or a claw. Any other connected graph is called a prolific graph and we denote the set of all prolific graphs by $\mathcal G$. We extend the works of Hartke and Higgins to show that for any prolific graph $G$, there exists a constant rational number $dgc(G)$ and an integer $k_0$ such that for all $k \ge k_0$, $Δ(L^k(G)) = dgc(G) \cdot 2^{k-4} + 2$. We show that $\{dgc(G) \mid G \in \mathcal G\}$ has first, second, third, fourth and fifth minimums, namely, $c_1 = 3$, $c_2 = 4$, $c_3 = 5.5$, $c_4 = 6$ and $c_5=7$; the third minimum stands out surprisingly from the other four. Moreover, for $i \in \{1, 2, 3, 4\}$, we provide a complete characterization of $\mathcal G_i = \{dgc(G) = c_i \mid G \in \mathcal G \}$. Apart from this, we show that the set $\{dgc(G) \mid G \in \mathcal G, 7 < dgc(G) < 8\}$ is countably infinite.

研究の動機と目的

• オイラー路の存在が繰り返しのリニアグラフ操作下でどのように進化するかを理解する動機付け。
• 与えられた G に対してどの L^k(G) がオイラー路を許すかを決定する。
• 反復にわたる Delta(L^k(G)) の成長を評価する。
• 繁盛グラフの成長定数を特徴づけ、最小の dgc 値を同定する。

提案手法

• 臨界辺と非臨界辺を用いた高次リニアグラフの構造特性を分析する。
• L^k(G) に対するオイラー路の存在を決定する多項式時間手法を開発し、全ての該当する k を列挙する。
• 定数 dgc(G) と 2^(k-4) に基づく Delta(L^k(G)) の成長関係を証明する。
• dgc(G) の値 c1..c4 の完全な分類を提供し、それに対応するグラフ族を記述する。
• 区間 (7,8) における dgc(G) に関する可算性の結果を示す。

Figure 1 : Possible values of $\mathsf{dgc}(G)$ . Class $\mathcal{H}_{4}$ is defined later (see Definition 4.32 ). The graph class corresponding to $\mathsf{dgc}(G)=c_{5}$ is not fully characterised in our work.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L^k(G) がオイラー路を持つのは、G、k、n、m の関数としていつか。
• RQ2 繁盛グラフ G に対して Delta(L^k(G)) は k とともってどのように成長するか。
• RQ3 多項式時間で L^k(G) がオイラー路を持つすべての k を計算できるか。
• RQ4 繁盛グラフのための漸近成長定数 dgc(G) の可能値とその分類は何か。

主な発見

• n 個の頂点と m 本の辺を持つグラフについて、オイラー路を持つ最大の k は k = O(nm)。
• L^k(G) がオイラー路を持つすべての k を出力するには O(n^2 m) 時間のアルゴリズムが存在する。
• 繁盛グラフ G に対して、有理数の dgc(G) と k0 が存在し、すべての k ≥ k0 に対して Delta(L^k(G)) = dgc(G) · 2^(k-4) + 2 が成り立つ。
• 集合 {dgc(G) : G が繁盛} の前5個の最小値は、c1 = 3, c2 = 4, c3 = 5.5, c4 = 6, c5 = 7。
• dgc(G) = c1..c4 となる G の完全な特徴付けを提供; c5 に対する集合は完全には特徴づけられていない。
• 繁盛かつ 7 < dgc(G) < 8 を満たす dgc(G) の集合は可算無限集合である。

Figure 2 : Cases of the two critical edges in $L(G)$ .