[論文レビュー] On evaluation of integrals involving Bessel functions

D. Babusci, G. Dattoli|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ベッセル関数、指数関数、対数関数、およびそれらの積を含む定積分を評価するための記号的演算子法を導入する。量子場理論において重要なこれらの関数に対して、ウムブラ記法を用いてベッセル関数を形式的な指数関数として扱うことで、フェ Feynman 図の振幅に現れる複雑な積分を閉形式で評価可能となる。結果はガンマ関数およびディガンマ関数の形で表される。

ABSTRACT

We introduce a symbolic method for the evaluation of definite integrals containing combinations of various functions, including exponentials, logarithm and products of Bessel functions of different types. The method we develop is naturally suited for the evaluation of integrals associated with specific Feynman diagrams.

研究の動機と目的

• ベッセル関数、指数関数、対数関数を含む積分を体系的かつ記号的に評価するためのアプローチを開発すること。
• 同様の次数の無限大を差し引くことで、発散する積分を正則化し、有限の結果を得ること。
• 異なる種類のベッセル関数の積へのこの手法の拡張、およびマクドナルド関数とノイマン関数への応用。
• 量子場理論におけるフェ Feynman 図の振幅に関連する積分を効率的に計算可能にする。
• 計算代数システムを用いた自動記号的実装の基盤を構築すること。

提案手法

• ベッセル関数を形式的指数関数として表現するため、$\hat{c}^\mu \varphi(0) = \varphi(\mu) = \frac{1}{\Gamma(\mu+1)}$ を定義するウムブラ作用素 $\hat{c}$ を用いる。
• 恒等式 $J_\nu(x) = \left(\frac{x}{2}\hat{c}\right)^\nu \exp\left\{-\hat{c}\left(\frac{x}{2}\right)^2\right\} \varphi(0)$ を用いて、ベッセル関数を代数的に表現する。
• 発散する積分の正則化として、$\lim_{\nu \to -1} \int x^\nu dx = \ln x$ の極限手続きを用いて対数項を扱う。
• マクドナルド関数については $K_n(x) = \frac{\pi}{2} \lim_{\nu \to n} \frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu\pi)}$ を用い、ウムブラ作用素を再定式化することで拡張する。
• 積の形のベッセル関数 $J_\mu(ax)J_\nu(bx)$ を扱うために、一般化された作用素 $\hat{d}$ を導入し、級数表現を得る。
• 一般化超幾何型関数を用いて、$\int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)J_\nu(bx) dx$ のような積分の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $x^\nu$ を含む発散する積分は、どのように正則化され、$\ln x$ のような有限の結果を得られるか？
• RQ2 記号的作用素を用いてベッセル関数を初等関数として扱うことは可能か？ これにより積分評価が簡略化されるか？
• RQ3 $\int_0^\infty x^\mu J\lambda(px) \ln(bx) dx$ の閉形式表現は何か？
• RQ4 異なる種類のベッセル関数の積を記号的にどのように統合するか？
• RQ5 この手法は、量子場理論におけるマクドナルド関数およびノイマン関数を含む積分へと拡張可能か？

主な発見

• 正則化を用いて、$\int_0^\infty x^\mu e^{-a x^2} \ln(bx) dx = \frac{1}{4\sqrt{a^{\mu+1}}} \Gamma\left(\frac{\mu+1}{2}\right) \left[\ln\left(\frac{b^2}{a}\right) + \psi\left(\frac{\mu+1}{2}\right)\right]$ が導出された。
• 記号的アプローチにより、$A_\lambda(p,b) = \int_0^\infty J_\lambda(px) \ln(bx) dx = \frac{1}{p} \left[\ln\left(\frac{2b}{p}\right) + \psi\left(\frac{\lambda+1}{2}\right)\right]$ が得られた。
• 積 $J_\mu(ax)J_\nu(bx)$ は $\left(\frac{a x}{2}\right)^\mu \left(\frac{b x}{2}\right)^\nu \exp\left\{-\hat{d} \left(\frac{x}{2}\right)^2\right\} \varphi_{\mu,\nu}(0;a,b)$ として表現され、体系的な統合が可能となった。
• 積分 $\Omega_{\alpha,\mu,\nu}(a,b) = \int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)J_\nu(bx) dx$ は $2^\alpha a^\mu b^\nu \Gamma\left(\frac{\alpha+\mu+\nu+1}{2}\right) \varphi_{\mu,\nu}\left(-\frac{\alpha+\mu+\nu+1}{2};a,b\right)$ として評価された。
• $\Xi_{\alpha,\mu,\nu}(a,b) = \int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)Y_\nu(bx) dx$ は $\Xi = \frac{1}{\sin(\nu\pi)} \left[ \cos(\nu\pi)\Omega_{\alpha,\mu,\nu} - \Omega_{\alpha,\mu,-\nu} \right]$ を用いて正しく評価された。
• トリコミ・ベッセル関数 $C_\nu(x)$ は $\hat{c}^\nu e^{-\hat{c}x} \varphi(0)$ として表現され、その積分は $\int_0^\infty C_\nu(x) dx = \frac{1}{\Gamma(\nu)}$ および $\int_0^\infty x^\mu C_\nu(x^2) dx = \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{\mu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\nu - \frac{\mu-1}{2}\right)}$ として評価された。