[論文レビュー] On existence and approximation of solution of nonlinear Hilfer fractional differential equation

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特異非線形ヒルファ分数階微分方程式のクラスに対して、新規のピカール反復スキームを用いて解の存在および一意性を確立している。非線形関数に関する条件を一般化し、反復近似の一様収束を証明することで、初期点で特異である場合でさえも、計算的に取り扱える解の近似法を提供している。

ABSTRACT

This paper gives the existence and uniqueness results for solution of fractional differential equations with Hilfer derivative. Using some new techniques and generalizing the restrictive conditions imposed on considered function, the iterative scheme for uniformly approximating the solution is established.

研究の動機と目的

• 特異非線形性を有する非線形ヒルファ分数階微分方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• 固定点法の制限を克服するために、解を一様に近似する計算可能な反復スキームを開発すること。
• 非線形関数 f に対する制限の厳しい条件を一般化し、特に単調性仮定を回避すること。
• 特異分数階モデルを含む実世界の問題に適用可能な実用的な近似法を提供すること。
• 反復列に収束基準を適用することにより、解の最大存在区間を特定すること。

提案手法

• 複雑なダイナミクスをモデル化するために、リーマン＝リウヴィル微分およびカプート微分を一般化するヒルファ分数階微分を用いる。
• 解に一様収束する関数列を構成するために、修正されたピカール反復技術を適用する。
• 特異性を取り扱うために、元の式を $ x(t) = (t-a)^{\gamma-1} \phi(t) $ と変換する。ここで $ \gamma = \alpha + \beta(1-\alpha) $ である。
• 反復列の収束を保証するために、$ f(t, (t-a)^{\gamma-1}x(t)) $ にリプシッツ型の条件を課す。
• 連続する反復の差を評価するために、ベータ関数およびガンマ関数を積分推定に用いる。
• 比の判定法および収束基準を用いて、区間 $ (a, a+l] $ における列 $ \phi_n(t) $ の一様収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異非線形ヒルファ分数階微分方程式が、どのような条件下で一意な解を有するか？
• RQ2 非線形項の単調性を要件としないで、解を一様に近似する反復スキームを構築できるか？
• RQ3 特異分数階方程式の文脈において、提案された反復法は固定点法と比較して、適用範囲および効率性においてどのように異なるか？
• RQ4 解が存在し、反復スキームが収束する最大区間 $ (a, a+l] $ は何か？
• RQ5 初期条件 $ \lim_{t\to a^+} (t-a)^{1-\gamma}x(t) = x_0 $ は、反復的構成においてどのように効果的に処理できるか？

主な発見

• 解は収束基準によって定まる $ l $ を用いて、最大区間 $ (a, a+l] $ で存在し、一意的である。
• 反復列 $ \phi_n(t) $ は、解 $ \phi(t) = (t-a)^{\gamma-1} \lim_{n\to\infty} (t-a)^{1-\gamma} \phi_n(t) $ に一様収束する。
• 収束は、ベータ関数およびガンマ関数を含む評価に比の判定法を適用することで証明される。
• 例として $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{2}, x_0 = 3 $ を取り上げた場合、解は $ (0, l] $ で存在し、$ l \approx 0.4 $ である。
• 単調性仮定のような制限の厳しい仮定を回避しており、先行研究を一般化している。
• 反復スキームは計算的に実行可能であり、$ f $ が $ t = a $ で特異であっても、解の近似を実用的に提供する。