[論文レビュー] On existence and uniqueness for non-autonomous parabolic Cauchy problems with rough coefficients

Pascal Auscher, Sylvie Monniaux+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$L^p$ 空間（$1 \leq p \leq \infty$）において、滑らかでない有界可測係数をもつ非自己同型放物型初期値問題の解の存在および一意性を、Kenig-Pipher にインspiredされた新規な放物型最大関数技法とテント空間における最大正則性を用いて確立する。任意の $L^p$ 初期データに対して、$L^\infty(0,T; L^p(\mathbb{R}^n))$ のクラスで一意性が示され、古典的な最大原理に依存せず、複素係数や系の係数に対しても拡張可能であり、時間に沿った有界 Variation（BV）の仮定のもとで $p < 2$ の場合にも一般化された結果が得られる。

ABSTRACT

We consider existence and uniqueness issues for the initial value problem of parabolic equations $\partial_{t} u = { m div} A abla u$ on the upper half space, with initial data in $L^p$ spaces. The coefficient matrix $A$ is assumed to be uniformly elliptic, but merely bounded measurable in space and time. For real coefficients and a single equation, this is an old topic for which a comprehensive theory is available, culminating in the work of Aronson. Much less is understood for complex coefficients or systems of equations except for the work of Lions, mainly because of the failure of maximum principles. In this paper, we come back to this topic with new methods that do not rely on maximum principles. This allows us to treat systems in this generality when $p\geq 2$, or under certain assumptions such as bounded variation in the time variable (a much weaker assumption that the usual Hölder continuity assumption) when $p< 2$. We reobtain results for real coefficients, and also complement them. For instance, we obtain uniqueness for arbitrary $L^p$ data, $1\leq p \leq \infty$, in the class $L^\infty(0,T; L^p({\mathbb{R}}^n))$. Our approach to the existence problem relies on a careful construction of propagators for an appropriate energy space, encompassing previous constructions. Our approach to the uniqueness problem, the most novel aspect here, relies on a parabolic version of the Kenig-Pipher maximal function, used in the context of elliptic equations on non-smooth domains. We also prove comparison estimates involving conical square functions of Lusin type and prove some Fatou type results about non-tangential convergence of solutions. Recent results on maximal regularity operators in tent spaces that do not require pointwise heat kernel bounds are key tools in this study.

研究の動機と目的

• 最大原理が失敗する複素係数や系の係数をもつ非自己同型放物型初期値問題における長年の未解決問題を解消すること。
• 係数行列 $A$ に対して最小限の正則性仮定のもとで、$1 \leq p \leq \infty$ の $L^p$ 空間における適切性（well-posedness）を確立すること。
• 局所的正則性や点での熱核の境界に依存しない、一意性のための新しいアプローチを構築し、Kenig-Pipher の最大関数の放物型版を用いること。
• エネルギー解や伝搬作用素に関する以前の結果を統合・拡張し、特に $p \geq 2$ の場合の系や $p < 2$ の場合の新しい推定値を提供すること。

提案手法

• 非接線的最大関数を制御し、最大原理に依存せずに一意性を証明するため、Kenig-Pipher の最大関数の放物型版を導入する。
• エネルギー空間 $\dot{W}(0,\infty)$ における伝搬作用素を構成し、以前の構成を一般化し、$L^2$-ベースの解に対する事前推定を可能にする。
• 点での熱核境界を要件としない、テント空間における最近の最大正則性の結果を用いることで、$A$ に対する最小限の仮定のもとで解析が可能になる。
• 逆 Hölder 推定および伝搬作用素の核境界を、$L^p$-有界性を介して正方形関数と最大関数と結びつける。
• 非接線的収束に関する Fatou 型結果を、双対性および $C_0(\mathbb{R}^n)$ と $M(\mathbb{R}^n)$ における近似を用いて適用する。
• 時間切断と切断された最大関数を用いた局所化により、$L^p$ ノルムおよび $L^p$-ベースの正方形関数の制御が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない係数をもつ非自己同型放物型系において、$p < 2$ の $L^p$ 初期データに対し、一意性を確立できるか？
• RQ2 最大原理や解の点での正則性に依存せずに、存在および一意性を証明することは可能か？
• RQ3 Kenig-Pipher の最大関数を放物型設定に適応し、非接線的最大関数を制御することは可能か？
• RQ4 点での熱核境界が存在しない状況において、テント空間における最大正則性の役割は何か？
• RQ5 係数行列に対して時間に沿った有界変動性（BV）の仮定のもとで、$p \geq 2$ および $p < 2$ の両方において $L^p$ の適切性が達成可能か？

主な発見

• 任意の $L^p$ 初期データ（$1 \leq p \leq \infty$）に対して、$L^\infty(0,T; L^p(\mathbb{R}^n))$ のクラスで一意性が成立し、Aronson が残した未解決問題が解決された。
• $p \geq 2$ の場合、$A$ が一様楕円的かつ有界可測であるという仮定のもとで、複素係数をもつ系に対し適切性が確立された。
• $p < 2$ の場合、Hölder 連続性の代わりに、$A$ が時間に関して有界変動性（$\text{BV}(0,T; L^\infty)$）をもつというより弱い仮定のもとで一意性が成立する。
• 非接線的最大関数が、$1 \leq p < \infty$ において $L^p$ で正方形関数によって制御可能であり、逆に $p \in [1,2)$ ではその逆が成り立つことが証明された。
• Fatou 型の結果が証明された：$u$ が $L^\infty(L^1)$ におけるグローバルな弱解であるとき、$\lim_{t \to 0^+} u(t, \cdot)$ は $M(\mathbb{R}^n)$ において弱-* 収束し、初期測度 $\mu$ に等しい。
• $L^1$ 初期データの場合、解 $u$ が $C_0((0,\infty), L^1)$ に属し、$t \to 0^+$ のとき弱-* 収束して $\mu$ に等しくなることが示された。さらに $u(t, \cdot) = \Gamma(t,0)\mu$ が成り立つ。