[論文レビュー] On exotic algebraic structures on affine spaces

M Zaidenberg|ArXiv.org|Jun 2, 1995

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、R^{2n}に微分同相であるがC^nに同型でない滑らかなアフィン多様体である、アフィン空間上の特異な代数的構造を調査する。同様の特異C^n構造の存在を、ホモトピー不変量と対数ケーラー次元を用いて同定し、高次元アフィン空間内の可縮曲面と超曲面の積を用いて明示的な例を構成する。また、標準的なアフィン空間とは位相的・代数的性質において明確に異なる点を強調する。

ABSTRACT

By an exotic algebraic structure on the affine space ${\bf C}^n$ we mean a smooth affine algebraic variety which is diffeomorphic to ${\bf R}^{2n}$ but not isomorphic to ${\bf C}^n$. This is a survey of the recent developement on the subject, which emphasizes its analytic aspects and points out some open problems.

研究の動機と目的

• R^{2n}に微分同相であるがC^nに同型でない特異C^n構造の存在と分類を調査すること。
• 特に無限遠における基本群と対数ケーラー次元に注目し、特異C^nと標準的C^nを区別する位相的・代数的不変量を特定すること。
• 可縮曲面と高次元アフィン空間内の超曲面の積を用いて、特異C^nの明示的構成を行うこと。
• ザリスキのキャンセレーション問題が特異構造の特徴づけに与える影響を検討すること。
• これらの希少で複雑な代数的対象の研究における未解決問題と解析的側面を強調すること。

提案手法

• Ramanujam–Dimcaの定理を適用し、ホモトピー群が自明でかつ1からnまでの次数でホモロジーが消えることにより、R^{2n}に微分同相である可縮アフィン多様体を特徴付ける。
• Lefschetz超平面定理とhコボルディズム定理を用いて、R^{2n}への微分同相性に必要な滑らかで単連結な境界構造を検証する。
• S_0をRamanujam曲面とするとき、X = S_0 × C^{n-2}とおき、既知の可縮性と非同型性の結果を応用して特異C^nを構成する。
• 対数ケーラー次元を区別する不変量として用いる：∑k̄(X_i) = n ならば、積は対数一般型の特異C^nである。
• Kaliman–Makar-Limanovの埋め込み定理を用いて、対数ケーラー次元1の可縮曲面をC^3内の超曲面として実現する。
• 双曲的およびKalimanの変形を用いて、等変被覆と変形族を通じて、新たな特異構造の族を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの滑らかなアフィン多様体がR^{2n}に微分同相であるがC^nに同型でないか？
• RQ2 対数ケーラー次元は、特異C^n構造と標準的C^nを区別するために用いられるか？
• RQ3 無限遠における基本群は、C^nへの同型性を妨げる要因として果たす役割を果たすか？
• RQ4 すべての特異C^n構造は、低次元の可縮多様体や超曲面の積として得られるか？
• RQ5 ザリスキのキャンセレーション問題は、特異C^n構造をどれほど制限または特徴づけるか？

主な発見

• すべてのn ≥ 3に対して、特異C^n構造が存在し、Ramanujam曲面S_0とC^{n-2}の積として構成される。
• m > 1のとき、X = (S_0)^mは、対数ケーラー次元k̄(X) = n = 2mである対数一般型の特異C^nをもたらす。
• C^3内でのp_{k,l}(x,y,z) = 1で定義される可縮曲面S_{k,l}は、(k,l) = 1かつk,l ≥ 2のとき、対数ケーラー次元1の超曲面である。
• 積S_{k,l} × C^{n-2}はC^{n+1}内の超曲面であり、特異C^nである。C^{n+1}上でのp_{k,l}のすべての非ゼロファイバーは特異C^nである。
• すべての対数ケーラー次元1の滑らかな可縮曲面はC^3内の超曲面として埋め込むことができ、特異C^nの変形族をもたらす。
• Makar-Limanov不変量とC^*-作用を用いて、特異3次元多様体を解析・構成する。例として、x + x^2y + z^2 + t^3 = 0で定義される超曲面は可縮であるがC^3に同型でない。